3章矩阵的初等变换与线方程组.pptVIP

第 3 章   矩阵的初等变换与线性方程组 3.2矩阵的秩 3.3线性方程组的解 * 3.1 初等变换与初等矩阵 3.1.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 定义1 矩阵的初等行变换指的是以下三种变换: （1）互换矩阵中任意两行元素的位置（记作 ）； （2）用非零数 乘以矩阵的某一行（记作）； （3）把矩阵中第 行的 倍加到第 行上去（记作 ）. 以上三种变换对列也同样成立,称为初等列变换，标记时只须 把 换成 ，即三种初等列变换分别写成 ， . ， 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 例1 设 利用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形. 解 在行阶梯形的基础上,如果再对矩阵进行初等行变换,则可 将矩阵化为行最简形,即矩阵的非零元素行的第一个非零元素 为1,并且其所在的列其他元素为零.如上例中 利用矩阵的初等变换行将矩阵化为行阶梯形和行最简 形是解决矩阵问题的主要方法之一.同学们应该熟练掌握. 对于矩阵的行最简形，如果再对其进行初等列变换， 则可以得到一种更为为简洁的形式——标准形.例如 矩阵 即为标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵， 其余元素为零. 对于 矩阵 ，总可以经过初等变换（初等行变换 和初等列变换）把它化为标准形 其中 为 阶单位阵， 即为矩阵的行阶梯形中非零元 素行的行数. 3.1.2 初等矩阵 定义2 对单位矩阵 施行一次初等行（列）变换得到的 矩阵称为初等矩阵. 由初等矩阵的定义知,对应于三种初等变换,初等矩阵 具有以下三种形式: （1）互换 的第 两行（或第 两列）,得 （2）用非零数 乘以矩阵 的第 行（或第 列）,得 （3）把矩阵 的第 行的 倍加到第 行上,得 定理1 对 矩阵 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以一个相应的 阶初等阵；对 施行一次初等 列变换，相当于在 的右边乘以一个相应的 阶初等阵 定理2 设矩阵 为 阶可逆矩阵,则 可经过有限次初等 变换化为单位矩阵. 定理3 设 为可逆阵，则存在有限个初等阵 ，使 . 推论 矩阵 的充分必要条件是：存在 阶可 逆阵 及 阶可逆阵 ，使 3.1.3 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 例2 利用初等行变换求矩阵 的逆矩阵,其中 解 因此 例3 利用初等行变换求矩阵 的逆矩阵,其中 解 因此 例4 解下面的矩阵方程 ,其中 解 分析:因为 ,所以 可逆,下面首先利用初等变换法 求出 的逆阵 ,再对方程 两边分别左乘 ,可得 所以 因此 3.2.1 矩阵秩的概念 定义3 设矩阵 为 型矩阵,在 中选定 行 列 ,则位于这 行 列 交叉位置上的 个元素按照原来的排列方式构成一个 阶方阵,称为矩阵 的 阶子矩阵, 的 阶子方阵的行列式称为 的 阶子式. 定义4 设矩阵 中存在 阶非零子式,并且所有的 (如果 存在的话)阶子式全为零,则称矩阵 的秩为 ,记作 , 并称该 阶子式为矩阵 的最高阶非零子式. 3.2.2 用初等变换求矩阵的秩 定理4 若矩阵 与矩阵 等价,则 例7 求矩阵 的秩. 解 对 施行初等行变换到行阶梯形,即 由于 ,因此 例8 求矩阵 的秩,并求 的一个最高阶非零子式. 解 先求 的秩,为此对 作初等行变换,将 化成行阶梯形矩阵. 上式最后一个矩阵是行阶梯形矩阵,其非零元素行的行数为 因此 .所以 下面再求 的一个最高阶非零子式.为此先求 的一个最高阶 非零子式.显然在 中,第 行与第 列的元素构成的三 阶子式为 为 的一个最高阶非零子式,同时注意到在求 的秩时我们只对 作了初等行变换, 中第 行分别与 中 行对应,而 的第 列即为 的第 列,因此得出 的最高阶(三 阶)非零子式为 3.3.1齐次线性方程组的解 对于齐次线性方程组 必有零解,但我们关心其在什么条件下具有非零解,为此我们 给出 定理5 齐次线性方程组(1)有非零解的充分必要条件是 ,其中 为其系数矩阵. （1） 例9 求解方程组 解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换 因为 ,所以方程组有非零解.与矩阵 对应的方程组为 并且与原方程组等价.当未知量 取定某一组值时, 的值也随之确定,即得到方程组的一组解,因此对于 未知量 的任意一组取值,均能得到方程组的解,我 们称满足这样条件的未知量为自由未知量. 设自由未知量 ,得 (其中 为任意常数). 例10 解方程组 解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换得