3章线系统的时域分析法.pptVIP

3-4 控制系统的稳定性和代数判据 一.稳定性的定义 如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。 如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。 定义:若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。 我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。 二.稳定的充要条件 设系统的闭环传递函数为: 由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位脉冲δ(t)时,则系统的输出便是单位脉冲过渡函数k(t),如果 ,则系统稳定。 若 是线性系统特征方程 的根,且互不相等,则上式可分解为 式中 则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡函数为 欲满足 ,则必须各个分量都趋于零。式中 为常数,即只有当系统的全部特征根 都具有负实部才满足。 ?稳定的充要条件是:系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左。 特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。 三.劳思稳定判据 不必求解特征方程的根,而是直接根据特征方程的系数,判断系统的稳定性,回避求解高次方程的困难。 1.系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统。 充分条件:Routh表第一列元素均大于0。 2.Routh表的列写方法 特征方程为 则Routh表为(在下页中) 则系统稳定的充要条件:劳思表中第一列元素全部大于0。若出现小于0的元素,则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。 例: 则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。 一次方程: a1,a0同号则系统稳定。 二次方程: a1,a2,a0同号则系统稳定。 三次方程: a0,a1,a2,a3均大于0,且a1a2a3a0,则系统稳定。 例1 试分析系统结构参数对稳定性的影响,系统的闭环传递函数为 式中，Kk为系统的开环放大系数。 列劳斯表，整理得 例2:结构图如图所示,试分析τ取何值能保证系统稳定. 例4 确定系统稳定的K、T值。 解: 系统的特征方程为 列出劳斯表 要使系统稳定，第一列元素 的符号均应大于零。由此得 则稳定条件为： 例5：设系统特征方程为 ，试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 与虚轴之间。 解：列出劳斯表。劳斯表第 一列无符号变化，所以系统稳定。 令 代入原特征方程， 得到如下特征方程： 劳斯表中第一列元素 符号变化一次，所以 有一个特征方程根在 垂线右边。 例6:已知系统的特征为: 试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整? 解:特征方程化为: 列劳思表: 所以使系统稳定的k值范围是 若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得: 整理得: 列劳思表: 第一列元素均大于0,则得: 4.两种特殊情况 情况1:劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数ε代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。 例: 当ε很小时, 则系统不稳定，并有两个正实部根。 情况2:劳思表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。 此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。 (1).用