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§3 马尔可夫预测法 该方法将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初始概率和状态之间的转移概率的研究，确定状态变化的趋势，以预测事物的未来 一、预备知识（相关概念） 1、随机过程、参数集、状态、状态空间 设T是一无限实数集，我们把依赖于参数 的一族（无限多个）随机变量称为随机过程， 记为： 常把t看作时间，称X（t）为时刻t时过程的状态 对于一切的 ，X（t）所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间 2、马尔可夫性（无后效性） ——过程（或系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻tt0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。 通俗地说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去” 3、马尔可夫过程 ——如果一随机过程具有马尔可夫性或无后效性，则称此过程为马尔可夫过程 马尔可夫过程的两个基本特征： 1）无后效性 2）遍历性——不管事物现在所处的状态如何，在较长时间内，马尔可夫过程逐渐趋于稳定状况，而且与初始状况无关 4、马尔可夫链 ——时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，简称马氏链 5、状态转移概率矩阵P 6、多步转移概率的确定 Chapman-Kolmogorov方程 C-K方程 矩阵形式： ７、马氏链的稳态概率 Ｓ(k+1) = S(k) P=S(k) １）马氏过程存在稳态概率的充分条件： ——存在m，使m步转移概率矩阵Ｐ(m)=Ｐm无零元 ２）稳态概率的求解 S(k) =(x1,x2,…xn) 二、马尔可夫市场预测模型 （一）市场占有率的预测 １、预测模型 Ｓ(k+1) = S(k) P= S(0) Pk+1 ２、适用条件 适用于具有马尔可夫性的时间序列，并且时间序列在要预测的时期内，各时刻的状态转移概率保持稳定，一般适用于短期预测 ３、预测步骤： １）预测对象状态划分 ２）计算初始概率pi ３）计算状态的一步转移概率pij ４）预测 ４、预测应用 1）选择预测方法 2）绘制时序曲线图 3）状态划分 Y100(千台）——低水平销售状态（E1） 100Y150(千台）——正常销售状态（E2） Y150(千台）——畅销状态（E3） 4）计算初始概率pi . 5）计算一步转移概率pij . 同理: . 同理: . 一步转移概率矩阵为： k步转移概率矩阵为： 6）对未来状态作出预测 Ｓ(k+1) = S(k) P= S(0) Pk+1 （二）终极市场占有率预测 Ｓ(k+1) = S(k) P=S(k) * * 各状态初始概率 3/21 8/21 10/21 初始概率Pi 3 8 10 处于该状态 的总数Mi Y150 100Y150 Y100 状态界限 （千台） 畅销E3 正常E2 低水平E1 状态