4n级行列式的质.pptVIP

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4n级行列式的质

评论: cramer法则给出一类线性方程组的公式解,明确了解与系数的关系,这在以后的许多问题的讨论中是重要的,同时便于编成程序在计算机上进行计算. 但作为一种计算方法而言要解一个n个未知量、n个方程的线性方程组,要计算n+1个n阶行列式,计算量较大.另一方面该公式对n个未知量,m个方程的一般线性方程组的求解就无能为力。 对于齐次线性方程组 除零解外的解(若还有的话)称为非零解. 注: 一定是它的解,称之为零解. 二、克莱姆法则 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式 则方程组(1)有唯一解 其中 是把行列式 中第 列 所得的一个 n 阶行列式,即 的元素用方程组(1)的常数项     代换             资料: 克莱姆是瑞士数学家,1704年7月31日生于日内瓦,1752年1月4日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒.早年在日内瓦读书,1724年起在日内瓦加尔文学院任教,1734年成为几何学教授,1750年任哲学教授. 他一生未婚,专心治学,平易近人,德高望重,先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会成员. 1750年,他在专著《线性代数分析导论》中提出了克莱姆法则.(其实莱布尼兹(1693年)和马克劳林(1748年)也给出了该法则,但他们的记法不如克莱姆,故流传下来). 例1 计算行列式  三、行列式的计算 方法: 阶梯阵,从而算得行列式的值. 对行列式  中的A作初等行变换,把它化为 1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一列; 2) 把矩阵的某一列的k倍加到另一列, ; 3) 互换矩阵中两列的位置. 四、矩阵的初等列变换 定义 数域P上的矩阵的初等列变换是指: 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 注意: 把它化成列阶梯阵,从而算得行列式的值. 计算行列式  时,也可对A作初等列变换, 也可同时作初等行变换和列变换,有时候这样 可使行列式的计算更简便. 一、余子式、代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则 引入 可见,三级行列式可通过二级行列式来表示. 一、余子式、代数余子式 定义 在 n 级行列式 中将元素 所在的 第 i 行与第 j 列划去,剩下 个元素按原位置 次序构成一个 级的行列式, 称之为元素 的余子式,记作 . 令 称 之为元素 的代数余子式. 注: ① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式 和代数余子式. 无关,只与该元素的在行列式中的位置有关. ② 元素 的余子式和代数余子式与  的大小 元素除 外都为 0,则 1.引理 二 、行列式按行(列)展开法则 若n 级行列式 D = 的 中第 i 行所有 证: 先证    的情形,即 由行列式的定义,有 结论成立。 一般情形: 结论成立。 2.定理 行列式 D 等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和,即 或 行列式按行(列)展开法则 证: 例1.计算行列式 解: 例2.证明范德蒙行列式 证:用数学归纳法. 时, 假设对于 级范德蒙行列式结论成立.即 结论成立. 把 从第 n 行开始,后面一行减去前面一行的  倍,得 下证对于 n 级范德蒙行列式  结论也成立. 范德蒙行列式 中至少两个相等. 注: 3.推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 证 相同 ∴ 当 时, 同理可证, 综合定理及推论,有关于代数余子式的重要性质: 例3.设          求 解: 和 例4.证明: 对k用数学归纳法 一、非齐次与齐次线性方程组的概念 二、克兰姆法则及有关定理 一、非齐次与齐次线性方程组的概念 设线性方程组    非齐次线性方程组.    若常数项     不全为零,则称为    简记为    则称为齐次线性方程组.     若常数项          即         简记为    (1) 非齐次线性方程组(m=n时的情况).    (2) 齐次线性方程组(m=n时的情况).    线性方程组(1)(2)的系数行列式 类似可得: 上三角形行列式 下三角形行列式 例3. 已知 ,求 的系数 .   由n级行列式定义, 是一个的多项式函数, 且最高次幂为 ,显然含 的项有两项: 与 即 与 中 的系数为-1. 解: 这里 表示对所有1、2、… 、 n的n级排列和. 二、n 级行列式的等价定义 证明: 按行列式定义有 记 对

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