7章多元函数微分学.pptVIP

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2017-03-25 发布于上海
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7章多元函数微分学.ppt

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7章多元函数微分学

* 第7章多元函数微分学 §7.1 空间解析几何基础 §7.2 多元函数的概念 §7.3 偏导数及其在经济中的应用 §7.4 全微分及其应用 §7.5 多元复合函数与隐函数的微分法目录上一页目录下一页退出 §7.6 多元函数的极值及其应用 § 7.1 空间解析几何基础一、空间直角坐标系 1．基本概念上一页目录下一页退出在空间取定一点O，过O作三条具有长度单位且两两相互垂直的数轴：x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴.规定三条坐标轴的正向构成右手系，如图7-1所示，由此构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz直角坐标系，点O称为该坐标系的原点. . 上一页目录下一页退出图7-1 由x轴和y轴确定的平面称为xOy面.类似地，有yOz面和zOx面. 三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限，分别用罗马数字Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ表示.如图7-2所示. 图7-2 上一页目录下一页退出设分别作垂直于轴，轴的三个平和坐标轴的交点依次为这三个点在轴，轴，轴上的坐标依次为可知,任何有序数组是空间中任意一点，过点面，它们与三个就唯一确定了一个有序数组 .则点反之,将以上过程倒过来, 一定对应空间中唯一的一点,这样,空间的点就与有序数之间建立起一一对应关系，称有序数组为点的坐标，并依次称为点的横坐标，组纵坐标，和竖坐标，记为 . 上一页目录下一页退出例1　坐标轴上、坐标面上及卦限中点的坐标各有什么特点？解　(1) x轴上的点，有y=z=0； y轴上的点，有x=z=0； z轴上的点，有x=y=0. . 上一页目录下一页退出 (2) xOy面上的点，有z=0； yOz面上的点，有x=0； xOz面上的点，有y=0. (3) 考察八个卦限中点的坐标的正负号，有如下特点： Ⅰ(+，+，+),Ⅱ(-，+，+),Ⅲ(-，-，+),Ⅳ(+，-，+)，Ⅴ(+，+，-),Ⅵ(-，+，-),Ⅶ(-，-，-),Ⅷ(+，-，-). . . 上一页目录下一页退出例2　已知点M(1，-2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解　设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则 (1) 由x+1=0，y+(-2)=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(-1，2，-3). (2) 由x=1，y+(-2)=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(1，2，-3). 同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(-1，2，3). (3)由x=1，y=-2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(1，-2，-3). 同理，M关于yOz面的对称点的坐标为：(-1，-2，3)； . . 上一页目录下一页退出 M关于zOx面的对称点的坐标为：(1，2，3). 2、空间两点间的距离设和为空间中两点，过点和分别作垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围成一个长方体（如图7-4所示）. 其棱长分别为，，和 . 得到空间两点，距离为 . . 上一页目录下一页退出图7-4 例3 在z轴上求与两点和等距离的点. 解设所求的点为，得即得，因此所求的点的坐标为(0，0，11). . 上一页目录下一页退出二、空间曲面及其方程定义 1 在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程F(x,y,z)=0的图形，如图7-5所示图7-5 . 上一页目录下一页退出下列是几种常见的空间曲面： 1.平面先看平面的一个引例例4 已知、，求的垂直平分面的方程. 解设是所求垂直平分面上任意一点，则上一页目录下一页退出由空间两点的距离公式可得整理化简得到垂直平分面的方程为 4x－4y－6z+5=0 . 可以证明，空间任一个平面方程均可表示为 Ax+By+Cz+D=0 其中A、B、C、D、均为常数且A、B、C不全为0. 上述方程称为平面的一般方程 . 上一页目录下一页退出下面是几种特殊的平面方程： (1)当D=0时，Ax+By+Cz=0表示过原点的平面. (2)当C=0时，Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面；当A=0时，By+Cz+D=0