7章量子力学的矩阵形式与表象变换.pptVIP

§7.4 Dirac 符号 §7.4 Dirac 符号 保罗·狄拉克(Paul Adrie Maurice Dirac1902~1984)量子力学的创 建者之一。26岁时提出量子力学和 量子电动力学的基本方程----狄拉克 方程，因而获得了1933年的诺贝尔 物理奖。他预言了电子的反粒子 -----正电子的存在，在量子统计、 宇宙学甚至数学方面都有独到的创造。 主要著作有 量子力学原理 7.4.1 右矢（ket)与左矢（bra） 7.4.2 标积 量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间，空间中的任一 矢量用来标记一个量子态 Dirac 符号的优点： 不涉及具体的表象； 运算简洁特别适合表象 变换 基矢的完备性条件 离散谱 连续谱 应用 7.4.3 态矢在具体表象中的表示 在F 表象中，任意态矢的展开式为 则这组数 就称为态矢在F表象中的表示。 列矢量的形式 投影算符： 由（3）得 定义： 投影算符(projection operator) 则 完备性关系 （单位算符） 坐标和动量表象中的完备性关系 F 表象中标积的计算 则 7.4.4 算符在具体表象中的表示 设态经过算符运算有 在F表象中利用基矢的完备性有 即 其中 分别是两态矢在F 表象中的表示， 是力学量L在F 表象中的表示 矩阵形式 力学量L的本征方程的矩阵表示 本征方程 在F表象中的表示 即 求解该方程就可得到力学量L的本征值。 7.4.5 薛定谔方程 薛定谔方程 在F表象中的表示 即 矩阵形式 力学量的平均值 7.4.6 表象变换 1. 态的表象变换 设态Ψ在F表象和F’表象中的表示分别是 则 即 式(20)的矩阵形式是 或写成 可以证明S是幺正变换，即 证明： 在F表象中 2. 算符的表象变换 算符L在F 表象和F’表象中的矩阵元分别是 则 即 幺正变换的性质 (1)幺正变换不改变算符的本征值 证明: 设算符L在F表象中的本征方程为 作表象变换F→F′,则 即 (2)幺正变换下矩阵的积不变 第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换 §7.1 量子态的不同表象，幺正变换 §7.2 力学量（算符）的矩阵表示 §7.3 量子力学的矩阵形式 §7.4 Dirac 符号 ?海森堡（Werner?Heisenberg，1901年－1976年），德国著名物理学家，量子力学的创立人。他于20世纪20年代创立的量子力学，可用于研究电子、质子、中子以及原子和分子内部的其它粒子的运动，从而引发了物理界的巨大变化，开辟了20世纪物理时代的新纪元。为此，1932年，他获得诺贝尔物理奖，成为继爱因斯坦和波尔之后的世界级的伟大科学家 。其主要贡献为：提出了量子力学的矩阵形式、提出测不准原理和S矩阵理论。 §7.1 量子态的不同表象，幺正变换 1. 直角坐标系及其变换 设有直角坐标系x1x2，其基矢为e1,e2，即 任一矢量在坐标系中展开为 O x1 x2 x′2 x′1 θ θ e1 e2 e′1 A A1 A2 A′2 A′1 e′2 若有另一直角坐标系x1’x2’，其基矢为e1’,e2’，即 任一矢量A在坐标系中的展开为 同一矢量A在两个坐标系中展开之间的关系时 则 表示成矩阵形式是 或写成 可见： 同一矢量在两个坐标系中的表示之间的关系通过一变换矩阵 联系在一起，变换矩阵的矩阵元是两个坐标系基矢间的标积。 变换矩阵的性质： (1)变换矩阵R是真正交矩阵 (proper orthogonal matrix) (2) 变换矩阵R是幺正矩阵(unitary matrix) 2. 表象及其变换 任何一个量子态可以抽象成Hilbert空间中的一个矢量。体系的 任何一组对易力学量完全集F的共同本征态可构成此态空间的 一组正交归一完备的基矢，称为F表象。 每选择一组展开基矢，态空间便有了一种描述方式，就说是 选取了一组表象。同时，将一个矢量方程向某组基矢投影， 便意味着进入了相应的（由该基矢所表示的）表象。 表象的改变意味着状态空间中基矢的改变，表象变换是一种 幺正变换，选择不同基矢去描述同一体系，得到全部的物理 结论都应当相同。 作为基矢的态矢量的集合必须是完备的。 常见的表象有：坐标表象、动量表象和能量表象。 任一量子态Ψ的展开 则一组数（a1, a2, …）就称为Ψ在F表象中的表示 若有另一组力学量完全集F′ 则量子态Ψ在F’中的展开为 则 式中 为F′ 表象和F表象基矢的标积。 矩阵形式 同一量子态在不同表象表示间的关系 F表象： 量子态表象变换的 矩阵形式 可以证明： 即表象变换时幺正变换。 证明： 说明 §7.2 力学量（算符）的矩阵表示 1. 矢量的矩阵表示 平面