9章常微分方程初值问题数值解法.pptVIP

* 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出 现小步长计算大区间的问题，因此最好使用对步长 不加 限制的方法，如前面已介绍的欧拉后退法及梯形法，即 A-稳定的方法， 所谓A-稳定就是指数值方法的绝对稳定域包含了 平面的左半平面. 称系统（7.1）是刚性的， 称为方程（7.1）的局部刚性比. 且 （7.1） * 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔（Gear) 方法，还有隐式龙格-库塔法（见文献[21]），这些方法 都有现成的数学软件可供使用. 这就表明本章所介绍的方法中能用于解刚性方程的方 法很少. 这种方法当然对步长 没有限制，但A-稳定方法要求 太苛刻，Dahlquist已证明所有显式方法都不是A-稳定的， 而隐式的A-稳定多步法阶数最高为2，且以梯形法误差常 数为最小. * * * * * * * * 9.6 线性多步法的收敛性与稳定性 9.6.1 相容性及收敛性 线性多步法(5.1)式的相容性：在定义8中给出的局部 截断误差(5.2)中 ，若 称 步法(5.1) 与微分方程(1.1)相容，它等价于 对多步法(5.1)可引入多项式 （6.1） （6.2） * 和 （6.3） 分别称为线性多步法(5.1)的第一特征多项式和第二特征多 项式. 可以看出，如果(5.1)式给定，则 和 也完全确 定.反之也成立. * 定理5 线性多步法(5.1)式与微分方程(1.1)相容的充 分必要条件是 关于多步法(5.1)的收敛性：由于用多步法求数值解需 要 个初值，而微分方程(1.1)只给出一个初值 ， 因此还要给出 个初值才能用多步法(5.1)进行求解，即 （6.4） （6.5） 其中 由微分方程初值给定， 可由相应单步法 给出. * 设由(6.5)式在 处得到的数值解为 ，这里 为固定点， ，于是有下面定义. 定义9 设初值问题(1.1),(1.2)有精确解 .如果初 始条件 满足条件 的线性 步法(6.5)在 处的解 有 则称线性 步法是收敛的. 定理6 设线性多步法(6.5)是收敛的，则它是相容的. 此定理的逆定理是不成立的. * 例9 用线性二步法 解初值问题 解 此初值问题精确解 ，而由(6.6)式知 故有 ，故方法(6.6)是相容的，但 方法(6.6)的解并不收敛，在方法(6.6)中取初值 （6.6） （6.7） 此时方法(6.6)为二阶差分方程 * 其特征方程为 解得其根为 及 .于是可求得(6.8)的解为 故方法不收敛. 多步法是否收敛与 的根有关. （6.8） * 定义10 如果多步法（5.1）式的第一特征多项式 的根都在单位圆内或圆上，且在单位圆上的根为单根，则称 线性多步法（5.1）满足根条件. 定理7 线性多步法是相容的，则线性多步法（6.5）收 敛的充分必要条件是线性多步法（5.1）满足根条件. * 9.6.2 稳定性与绝对稳定性 稳定性主要研究初始条件扰动与差分方程右端项扰动对 数值解的影响，假设多步法（6.5）有扰动 ， 则经过扰动后的解为 ，它满足方 程 （6.9） * 定义11 对初值问题(1.1)，(1.2)，由方法（6.5）得到的 差分方程解 ，由于有扰动 ，使得方程（6.9）的解 为 ，若存在常数 及 ，使对所有 ，当 时，有 则称多步法（5.1）是稳定的或称为零稳定的. 研究零稳定性就是研究 时差分方程（6.5）解 的稳定性.它表明当初始扰动或右端扰动不大时，解的误差 也不大. * 对多步法（5.1），当 时对应差分方程的特征方 程为 .故有 定理8 线性多步法（5.1）是稳定的充分必要条件是 它满足根条件. 关于绝对稳定性只要将多步法（5.1）用于解模型方程 （4.8），得到线性差分方程 （6.10） * 利用线性多步法的第一、第二特征多项式 ，令 此式称为线性多步法的稳定多项式，它是关于 的 次多项 式.