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Chapter 5Probability Theory機率理論 Chapter 5Probability Theory 5.1 General Probability Rules 5.2 The Binomial Distributions 5.3 Conditional Probability Section 5.1General Probability Rules 機率規則 規則1：任意事件 A，0 P(A) 1。 規則2：樣本空間的事件 S，P(S) = 1。 規則3：任意事件 A，則 P( A 不發生) = 1- P(A)。 規則4：兩不相交事件(disjoint events) A 和B，則 P(A 或 B) = P(A) + P(B)。 文氏圖示(Venn Diagram) 以長方形區域代表樣本空間 S，在其內部以封閉曲線圍起來的區域代表事件，描述事件間的各種關係的方法，稱為文氏圖示法(Venn Diagram)。 文氏圖示實例 文氏圖示實例 (Disjoint Events) 文氏圖示實例 獨立事件 兩事件的發生機率不會互相影響，則稱兩事件互相獨立(independent events)。 事件 A (或B)的發生機率，不會因為事件 B (或A)是否發生而有不同，則稱事件 A 與 B 互相獨立。 例題5.1：兩獨立事件實例 擲兩枚銅板，第一枚銅板為正面的事件為 A，第二枚銅板為正面的事件為 B，第二枚銅板為正面的機率，與第一枚銅板的結果無關，兩事件互相獨立。 量血壓兩次，第一次的結果為 A 事件，第二次的結果 B 事件，第二次的結果與第一次的結果無關，兩事件互相獨立。 例題5.1：兩非獨立事件實例 抽撲克牌兩張，第一張為紅色的事件為 A，第二張為紅色的的事件為 B，第二張為紅色的機率，與第一張的結果有關，兩事件不獨立。 第一張紅色，則第二張紅色的機率為 25/51， 第一張黑色，則第二張紅色的機率為 26/51。 連續考試兩次，第二次的結果與第一次的結果有關，兩事件不獨立。 獨立事件的機率乘法規則Multiplication Rule for Independent Events 兩獨立事件 A 與 B 同時發生的機率，為兩事件個別的發生機率相乘， P(A 且 B) = P(A)P(B)。 例題5.2 孟德爾(Mendel)的豌豆 機率乘法規則的應用 豌豆育種研究 每株含有兩種可能顏色基因，黃色(Y)為顯性、綠色(G)為隱性，發生的機率各半 株與株間互相獨立 父母株交配後，子株為綠色的機率 P(G且 G) = P(G)P(G)= 0.5*0.5=0.25 例題5.3：海底電纜線 海底電纜線維修率研究； 每條海底電纜線上有許多 repeaters 。 每個 repeater 10年不壞的機率為 0.999，若無重大天然災害(地震)情況下，假設各 repeaters 間 互相獨立且不壞的機率相同。 令 Ai 為第 i 個 repeater 10年不壞的事件，則一 條有10個 repeaters 的海底電纜線10年免維修的機率為 P(A1且…且A10) = P(A1) · · · P( A10) = 0.99910 = 0.990 事實上，一 條海底電纜線上有300個 repeaters ，則 10年免維修的機率為 P(A1且…且A300) = P(A1) · · · P( A300) = 0.999300 = 0.741 (Repeaters are in fact designed much more reliable than 0.999 in 10 years.) 例題5.4 AIDS 檢驗研究 AIDS 檢驗研究 AIDS 檢驗得錯誤陽性(false positive)，即沒有感染但檢驗結果為陽性，的機率為 0.005，140未受感染的受測者，至少一人檢驗結果為陽性的機率為 P(至少一人為陽性) = 1- P(沒有人為陽性) = 1 - P(全部人為陰性) = 1 - 0.995140 = 0.504 兩獨立隨機變數 兩隨機變數，X與Y，若屬於X樣本空間SX的任意事件必和屬於Y樣本空間SY的任意事件獨立，則稱兩隨機變數獨立。 兩獨立(離散)隨機變數的乘法規則： 任意兩事件 { X = x} 與 { Y = y}， P({ X = x}且{ Y = y}) = P({ X = x})P({ Y = y}) ? x, y 兩事件發生的機率通則 兩事件 A 或 B 發生的機率， P(A或 B) = P(A)+P(B) - P(A且 B) Deborah成為