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Section 1.3Normal Distributions常態分配 單一變數的分配 將觀察資料圖示 直方圖、莖葉圖 檢視圖形的整體型態 外形、中心點、分散度及離群值 (outliers) 。 以統計數字概述資料的中心點及分散度。 若觀察資料數量夠大，則圖形的整體型態可用平滑曲線顯示。 密度曲線(Density Curve) 若觀察資料數量夠大，則直方圖(組數適當增加)的整體型態可用一近似的平滑曲線顯示。 上述直方圖中縱軸改為次數比例，則該平滑曲線稱為密度曲線(density curve)。 直方圖顯示資料的分配 直方圖顯示資料的分配(續) 平滑曲線顯示分配 密度曲線顯示分配 直方圖面積 密度曲線下面積 密度曲線的性質 曲線都在水平線上 (i.e., 密度函數=0)。 曲線下所 涵蓋的全部面積正好為1 (i.e., 所有可能性為 1)。 曲線下任何範圍所涵蓋的面積，為觀察值落在該範圍的比例 ((i.e., 機率)。 密度曲線可視為是觀察變數的理論分配圖形。 密度曲線的中位數 密度曲線的中位數，即為將密度曲線下的面積等分的點(數)。也可視為是觀察變數的理論中位數。 四分位數將曲線下的面積分為四等分。 對稱密度曲線的中位數，即為密度曲線的中心點。 偏斜密度曲線的中位數，並不容易找到，需使用數學方法如微積分來求得。 密度曲線與中位數、四分位點 密度曲線的平均值 密度曲線的平均值，即為密度曲線(當成實體時)的平衡點。也可視為是觀察變數的理論平均值，多以希臘字 m 表示。 密度曲線的平均值與中位數 對稱密度曲線的 平均值，即密度 曲線的中心點。 Figure 1.15 偏斜密度曲線的 平均值，多使用 數學方法如微積 分來求得。 密度曲線的其他統計量 密度曲線的標準差則須以數學模式推導。 為區隔觀察變數與密度曲線的平均值與標準差，我們以 m 代表理論平均值，以 s代表理論標準差。 觀察值的平均數為 ，標準差為 s。 常態分配 常態曲線 所有常態曲線都有相同的外型 具有對稱、單峰及鐘形的特性。 常態曲線所代表的分配即為常態分配(normal distribution) 每一常態分配都有其平均值m 與標準差s 。 常態曲線 常態曲線 s 較大 常態曲線的分割 Why 常態分配 很重要 in Statistics Good descriptions for some distributions of real data 身高, 體重, 考試成績 Good approximations to the results of many kinds of chance outcomes Tossing a coin many times Many statistical inference procedures are based on normal distributions 常態分配的68-95-99.7規則 常態分配有其特定的資料分佈規則： 平均值為m , 標準差為 s 的常態分配。 68%的觀察資料落在m 的 1s 之內。 95%的觀察資料落在m 的 2s 之內。 99.7%的觀察資料落在m 的 3s 之內。 圖示68-95-99.7規則 資料標準化(Standardization) 令觀察值 x 服從平均值為m ，標準差為 s 的分配，則 x 的標準化值(standardized value)定為 標準化值又稱為 z-值(z-score)。 標準化資料的平均值 變數z 的平均值為 0 (m = 0 )。 n 筆資料的z-值分別為 z1, z2, …, zn， 其中 ，則z-值之平均數為 0。 標準化資料的標準差 變數z的標準差為 1 (s = 1)。 n 筆資料的 z-值標準差為 sz， 標準常態分配 變數 X 服從平均值為 m ，標準差為 s 的常態分配，簡記為 X ~ N(m, s2)。 X 經過標準化後為 Z　(=(X- m)/ s )，則 Z 的平均值為 0 ，標準差為 1，即Z ~ N(0, 1)。我們稱 Z 服從標準常態(standard normal)。 標準常態表(Table A) 標準常態表實例 常態資料 例題1.16 : 14 歲男孩之膽固醇值 X (單位mg/dl)服從常態， N(170, 302)。求膽固醇值大於240 (i.e., may need me