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§1. 8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 二、函数的间断点 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 * 上页 下页 结束 返回 首页 铃 一、函数的连续性 二、函数的间断点 上页 下页 铃 结束 返回 首页 变量的增量 若变量u从初值u1变到终值u2? 则u2-u1就叫做变量u的增量? 记作Du ? 即Du =u2-u1? 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义? 当自变量x在该邻域内从x0变到x0+Dx时? 对应的函数 y 的增量为 Dy= f(x0+Dx)- f(x0)? 函数的增量 y=f(x) f(x0) x0+Dx x0 f(x0+Dx) Dx Dy 提问 变量的增量一定大于零吗？ 下页 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 如果 函数连续的定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? 等价关系: 设x=x0+Dx? 则当Dx?0时? x?x0? 因此 下页 讨论 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ ??e 0? ?d 0? ?x: |x-x0|d? 有|f(x)- f(x0)|e ? 提示 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 如果 函数连续的定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? 下页 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 如果 函数连续的定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? 左右连续性 左右连续与连续的关系 函数y=f(x)在点x0处连续?函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续? 下页 函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续? 如果区间包括端点? 那么函数在右端点连续是指左连续? 在左端点连续是指右连续? 连续函数举例 1? 多项式函数P(x)在区间(-?? +?)内是连续的? 这是因为? 函数P(x)在(-?? +?)内任意一点 x0处有定义? 并且 下页 2? 函数 y=sin x 在区间(-?? +?)内是连续的? 这是因为? 函数y=sin x在(-?? +?)内任意一点x处有定义? 并且 函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续? 如果区间包括端点? 那么函数在右端点连续是指左连续? 在左端点连续是指右连续? 连续函数举例 首页 间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义? 在此前提下? 如果函数 f(x)有下列三种情形之一? (1)在x0没有定义? 则函数 f(x)在点x0不连续? 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点? (2)虽然在x0有定义? 但 f(x)不存在? (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在? 但 f(x)?f(x0)? 下页 间断点举例 例1? 下页 例2? 当x?0时? 函数值在-1与+1之间变动无限多次? 所以点x=0是函数的间断点? 所以点x=0称为函数的振荡间断点? 间断点举例 下页 2 1 1 所以点x=1是函数的间断点? 如果补充定义? 令x=1时y=2? 则所给函数在x=1成为连续? 所以x=1称为该函数的可去间断点? 间断点举例 例3? 下页 所以x=1是函数f(x)的间断点? 如果改变函数f(x)在x=1处的定义? 令f(1)=1? 则函数在x=1成为连续? 所以x=1也称为此函数的可去间断点? 1 1 1/2 y=f(x) 间断点举例 例4? 下页 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象? 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点? -1 1 y=x+1 y=x-1 间断点举例 例5? 下页