一无穷积分的质.pptVIP

* * 一. 无穷积分的性质 §2 无穷积分的收敛性质与判别 收敛的充要条件是: (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分 定理11.1 性质１ 性质2 其中右边第一项为定积分. 注 性质３说明：绝对收敛的级数自身一定收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛． 性质3 但自身收敛的级数, 不一定绝对收敛． 二. 比较判别法 1、定理11.2 （比较准则） 2、推论1 3、柯西判别法 推论2 推论3 则有: (i)当 时, 收敛; (ii)当 时, 发散. 定理11.3 (狄利克雷判别法) 三. 狄利克雷达判别法与阿贝尔判别法 若 在 上有界, 在 上当 时单调趋于0, 则 收敛. 证: 由条件设 任给 由于 因此存在 当 时,有 又因 为单调函数, 利用积分第二中值定理, 对于任何 存在 使得 于是有 根据柯西准则: 收敛. 定理11.4 (阿贝尔判别法) 例1 讨论 与 的收敛性. 解 (i) 当 时 绝对收敛. 因为 而 当 时收敛, 故由比较法则推知 收敛. (ii) 当 而 当 时单调趋于 故由狄利克雷判别法推知 当 时总是收敛的. 又由于 其中 满足狄利克雷判别条件, 是收敛的, 而 是发散的, 因此当 时该无穷积分不是绝对收敛的. 所以它是条件收敛的. 例2.　讨论下列无穷积分的收敛性， 解(1)： 根据柯西判别法 解(２)： 根据柯西判别法