一章函数与极限.pptVIP

第二节 数列的极限 一 、数列极限的定义 定义: 例如, 例1. 已知 例2. 已知 例3. 设 二、收敛数列的性质 例4. 证明数列 2. 收敛数列一定有界. 3. 收敛数列的保号性. 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 内容小结 作业 1. 夹逼准则 (准则1) (P49) 例5. 证明 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) 例6. 设 根据准则 2 可知数列 *3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55) 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) 第一章 函数与极限 主讲人：张少强 计算机与信息工程学院 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 数学语言描述: 引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 当 n N 时, 用其内接正 n 边形的面积 总有 给定 ， ，从101项起，都有 一般地，不论给定的正数 多么小，总存在一个正整数N， 当nN时，总有不等式 （距离要多小的就会有多小，或说：要多近就有多近） （如果 ？？ ） 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 趋势不定 收 敛 发 散 演示 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， 发散 ! 则原数列一定发散 . 说明: 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 P30 3 (2) , (3) , 4 ,5， 6 三、极限存在准则 夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 *. 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 证: 利用夹逼准则 . 且 由 ( 证明略 ) 证明数列 极限存在 . (P52～P54) 证: 利用二项式公式 , 有 大 大 正 又 比较可知 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 又 数列 极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 证: “必要性”. 设 则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . ? 的方法 :