一章数学建模概述.pptVIP

模型建立 从钩子的角度考虑： 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u u=1/m p=1-(1-1/m)n D=m[1-(1-1/m)n]/n 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 如何求概率P 1.3.3 传送系统的效率 模型解释 若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则 传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比) 定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比) 提高效率的途径： 增加m 当n远大于1时, E ? n/2m ~ E与n成正比,与m成反比 若n=10, m=40, D?87.5% (89.4%) 1.3.3 传送系统的效率 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1.3.4 人口增长预测 目的 指数增长模型——马尔萨斯提出(1798) 常用的计算公式 N(t) ~时刻t的人口 基本假设: 人口(相对)增长率 r 是常数, 今年人口 N0 , 年增长率 r=b-d， k 年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 1. 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 2. 阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率 (N很小时) Nm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是N的减函数 0 dN/dt N Nm Nm/2 Nm t N 0 N(t)~S形曲线, N增加先快后慢 N0 Nm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型有一个稳定的平衡值Nm ,这比指 数增长模型更符合实际。 利用美国人口统计数据，检验上述两个模型 取r=0.03134, Nm=197273000, 得到的计算结果 显示逻辑增长模型与实际误差更小。 这里的参数r和Nm是专家估计给出的，实际上， 它们包括N0都可以通过参数估计得到。 阻滞增长模型(Logistic模型) 估计 中的参数r和N0 对模型取对数，得 用线性最小二乘法（利用计算机计算）可求得 参数a和r，从而得到N0和r。 利用美国1790-1900年数据，算得 N0=4.1184（百万), r=0.2743（每10年） 阻滞增长模型(Logistic模型) 估计 中的参数Nm, r 由 利用数值微分可算出右端值，再利用线性最小 二乘法，即可求得r和s。 利用美国1860-1990年数据计算得 Nm=392.0886, r=0.2557 1.4 插值法与最小二乘法简介 在实际中常常会遇到这样的问题： 不知道函数 y = f(x)的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值， 要求一个函数 使其通过这组点，即 这就是插值问题。函数 称为 的插值函数， 称为插值节点。 1.4.1 插值方法 已知函数 在 k+1 个互异点 的函数值 ，要求一个次数小于等于 k 的多项式 使得 称为 的插值多项式。 多项式插值 常见的多项式插值有： Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等。 Lagrange插值多项式具有如下形式 k=1 时，Lagrange插值也称为线性插值 其几何意义就是通过两点 的直线. k=2时，Lagrange插值称为二次插值 其几