一章非线振动初步.pptVIP

由牛顿第二定律： 非线性方程 式中角频率： 线性化处理 忽略3次以上的高次项 得线性方程 令 代入方程得得特征方程： 特征根： 得通解为： 式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件： 将 写成指数形式后得： 该式是振幅为P，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。 使 得： 一次积分后： 式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 ，振动过程是一个代表点沿圆周转动。 周期与摆角无关？ 看看实验结果： 定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形 对方程 乘以 后积分 其中 积分 设t = 0时， ，周期为 T，在 时应有 ，故有： 最后得： 在倒立附近，取对铅垂的偏角f 表示摆角， 代入单摆方程 得方程 利用 得方程 积分得双曲方程： 当E＝0时有 这是在[ ]处的双曲线的渐近线， 这点称为双曲奇点，也称鞍点。 相图上这点为的[ ]点。 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线 基本方程 若取 后积分得 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能 势能曲线是余弦函数 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线 1.坐标原点[ ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点[ ]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ ]到[ ]或相反的连线为分界线 在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线 相图横坐标θ是以2p为周期的， 摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G‘点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱 面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线 是柱面上的相轨线的展开图。 * 第一章 非线性振动初步 第一节 无阻尼单摆的自由振荡 第二节 阻尼振子 第三节 相图方法 第四节 受迫振荡 非线性振动初步 第一节 无阻尼单摆的自由振荡 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 数学表达式 数学表达式 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 数学表达式 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 相图 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 相图 相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。 能量方程 右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 ，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E 0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。 同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。 单摆周期 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 单摆周期数学表达式 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点 势能曲线 单摆完整相图 柱面上的单摆相轨线 第二节 阻尼振子 1 阻尼单摆 不动点 2 无驱杜芬方程 3 非线性阻尼 范德玻耳方