一线组合.pptVIP

* 一、线性组合 二、向量组的等价 三、线性相关性 四、极大线性无关组 设β， 一、线性组合 定义 称 为向量组 的一个线性组合. 注： 1) 若 ，也称向量 与 成比例. = 存在数 …… ∈p 使 2）零向量0可由任一向量组的线性表出. 4）任一 维向量 都是向量组 3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. 的一个线性组合． 也称为 n 维单位向量组． 对任意　　　　　　　　 皆有 例1???? 判断向量　能否由向量组　　　　线性表出.　 若能，写出它的一个线性组合．其中 解：设 ，即有方程组 （1） 对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵 所以方程组(1)有解．它的一般解为 得(1)的一个解 ， 令 从而有 1、定义 二、向量组的等价 向量组等价. 若向量组 中每一个向量 若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个 可以经向量组 线性表出； 皆可经向量组 线性表出，则称向量组 2、性质 向量组之间的等价关系具有： 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性 三、线性相关性 （一）线性相关 注：特殊情形 2）任意一个含零向量的向量组必线性相关. 定义1：如果向量组 中有一向量 称为线性相关的. 可经其余向量线性表出，则向量组 1）向量组 线性相关 成比例. 定义1：向量组 称为线性相关 如果存在 P 上不全为零的数 线性相关的, 使 在 时，定义1与定义1‘是等价的.证明见p119 注： 例2???? 判断下列向量组是否线性相关.　 定义2：若向量组 不线性相关， 若不存在 P 中不全为零的数 　，使　 （二）线性无关 即 则称向量组 为线性无关的. 换句话说， 对于一个向量组 若由 必有 则称向量组 为线性无关的. 1.单个向量线性相关当且仅当它是零向量； 3.向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 单个向量线性无关当且仅当它是非零向量. 个向量可由其余向量线性表出. （三）线性相关性的有关性质 2.一个向量组中若有零向量，则该向量组一定 线性相关. 4.一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；（部分相关则全体相关） 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关. （全体无关则部分无关） 5.若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关 . 相关，则向量组 也线性相关. 反之，若向量组 线性 6.向量组线性相关的基本性质定理 定理2 设 与 为两个 i) 向量组 可经 线性表出； 则向量组 必线性相关. ii) 向量组，若 要证 线性相关，即证有不全为零的数 使 证： 由i)，有 作线性组合 若能找到不全为０的 ，使　 中，方程的个数 s ＜未知量的个数 r ， 在方程组　 （3） 从而有不全为零的数 ，使 所以（3）有非零解. 所以 线性相关。 则也使　 推论2　任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. 推论3　两个线性无关的等价向量组必含相同个数 推论1 若向量组 可经向量组 线性表出，且 线线性无关，则 的向量. （任意 　　　 个 n 维向量必线性相关.） 例2　判断向量组 是否线性无关？若线性相关，求一组非零数 使 解： 设 即有方程组 解之得 为任意数 所以　　　　线性相关. 令 则有　 使 由于 线性无关，于是有 设 即 例3　已知向量组 线性无关，向量 证明： 线性无关. 解之得 所以 线性无关 . 证： 1、极大线性无关组 i) 线性无关； 极大线性无关组，简称极大无关组. 一个部分组 若满足 定义 为 中的一个向量组，它的 设 线性表出； ii) 对任意的 , 可经 四、极大线性无关组　向量组的秩 则称 为向量组 的一个 1）一个向量组的极大无关组不是唯一的. 注 3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身. 4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价. 5）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同 个数的向量.