一节无穷级数的概念和质.PPTVIP

* 第一节 无穷级数的概念和性质 一、无穷级数的概念 二、级数的基本性质 一 、无穷级数的概念 定义1 对于数列u1,u2, ··· , un, ···，用“+”号将其连接起来，得 u1+u2+···+un+···, 简记为 .称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项. 无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加”运算？“相加”的结果是什么？ 定义2 称 为级数 的前n项和(n=1, 2, ···).简称部分和. 由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列 若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和，记为 .若 不存在，则称级数 发散. 定义3 若 收敛，则称 为级数 的余项. 定义4 若 中每项 皆为常数，则称 为常数项级数. 若 且为常数，则称 为正项级数. 若对于某些n，un可以取正值，对于另一些n，un 可以取负值，则称 为任意项级数. 若 中至少有一项 为(非常数)函数，则称 为函数项级数.特别如果 ，则称 为幂级数. 例1 试判定级数 的收敛性. 解 所给级数的前n项和 因此所给级数 发散. 例2 判定级数 的收敛性. 解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给几何级数转化为例1，可知其发散.若 ，所给级数前n项和 当|r|1时， ，因而 ，即级数 收敛，且其和为 . 当|r|1时， ，因而 ，即级数 发散. 当r= –1时 ， 其前n项和 可知 不存在.因此 发散. 综合上述，可知 例3 判定级数 的收敛性. 解 所给级数的前n项和 可知 故所给级数收敛，且和为1. 二、 级数的基本性质 性质1 (ⅰ) 若级数 收敛，其和为S，又设k为常数，则 也收敛，且和为kS. (ⅱ)若 发散，且k≠0，则 必定发散. 证 (ⅰ)设 ，由于 收敛， 因此应有 . 由极限的性质可知 即 收敛，且其和为kS. 故 发散. (ⅱ)用反证法.若 设 收敛，则由(ⅰ)知 亦收敛，矛盾. 例4 判定级数 的收敛性. 解 由例2与性质1可知 性质2 若 收敛，其和为S； 收敛，其和为 ，则 必收敛，其和为 . 例5 判定 的收敛性. 解 注意到 与 皆为几何级数， 其公比分别为 与 ， 由例4可知 与 皆收敛，且 由性质2可知 收敛， 且其和为 . 性质3 在 中去掉或添加有限项，所得新级数与原来级数的收敛性相同. 证 在 中去掉或添加有限项所成新级数记为