一讲函数与方程重点二分法.pptVIP

* * * 第一讲 函数与方程 重点：二分法 a b 函数的零点是怎样定义的 一般地,如果函数y=f(x)在实数x处的值等于零,即 f(x)=0 则x叫做这个函数的零点. 结论: 零点就是方程f(x)=0的实数根.也就是函数图象与x轴交点的横坐标. 问题 1 ? 练习 求下列函数的零点: f(x)=2x-4 (2) f(x)=x2-4x+3 (3) f(x)=x2-2x+1 (4) f(x)=3x2-2x-7 解方程f(x)=0 作函数图象 问题 2 答案（1）2（2）1，3（3）1（4） 、 ? 如何求函数的零点 x y o 1 2 3 变号零点 x y o 1 不变号零点 问题3 观察函数图象,看两函数零点两侧的函数值有什么关系? 函数的变号零点有怎样的性质? 如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)o,则 定理 问题4 x y o a b x y o a b 这个函数在这个区间上至少有一个 变号零点. y x o a b 练习 1.函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且f(a)f(b)0则这个函数在这个区间上( ) A只有一个变号零点 B至多有一个变号零点 C至少有一个变号零点 D不一定有零点 2.函数y=f(x)在区间[a,b]上有一个变号零点x0,且f(a)0,f(b)0,f( )0,则x0在哪个区间内( ) A. [ ,b] B. [a, ] C. [ ,a] D. [b, ] C B 问题5 当确定函数在区间内存在一个变号零点后,如何求出这个零点? 通过取中点,不断把函数的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数的零点或零点的近似值,这样的方法叫做二分法. o x y a b c d e 例1 求函数f(x)=x3-3x2+2x-6在区间[0,4]内的变号零点. 解 f(0)=-60 f(4)=180 端点(中点)坐标 中点的函数值 取区间 [0,4] [2,4] X1=(0+4)/2=2 X2=(2+4)/2=3 f(x1)=f(2)=-60 f(x2)=f(3)=0 由上式计算可知,x2=3就是所求函数的一个零点. 例2 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点(误差不超过0.1) 解 由于f(0)=-20,f(1)=-20,f(2)=60,可以取区间[1,2]作为计算的初始区间. 端点(中点)坐标 中点的函数值 取区间 区间长度 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.375,1.5] 1 0.5 0.25 0.125 X1=(1+2)/2=1.5 X2=1.25 X3=1.375 X4=1.438 f(x1)=0.6250 f(x2)0 f(x3)0 由上表的计算可知,区间[1.375,1.5]的长度小于0.2,所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值. 用二分法求函数变号零点的一般步骤: 1.零点存在性定理,求出初始区间 2.进行计算,确定下一区间 3.循环进行,达到精确要求