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第七章 傅里叶变换 7.1 傅里叶级数 将（7.2.4）代入上式可以证明无论对于 ，还是 均可以合并为 （7.2.14） 证明：（1） 时 （2） 时 证毕． （7.2.13）是 的复数形式的傅里叶积分表示式, （7.2.14）则是 的复数形式的傅里叶变换式． 上述变换可以写成另一种对称的傅氏变换（对）形式 （7.2.15） 7.2.3 傅里叶变换式的物理意义——频谱 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这个术语来 自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函数和非周期函数的 一些基本性质. 若已知 是以 为周期的周期函数，且满足狄利 克雷条件，则可展成傅里叶级数 (7.2.16) 其中 ,我们将 称为 的第 次谐波， 称为第 次谐波的频率． 由于 其中 称为初相， 称为第 次谐波的振幅，记为 ，即 （7.2.17） 若将傅里叶级数表示为复数形式，即 (7.2.18) 其中 恰好是 次谐 波的振幅的一半.我们称 为复振幅.显然 次谐波的振幅 与复振幅有下列关系： （7.2.19） 当取 这些数值时，相应有不同的频率 和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化 的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图. 称为函数 的振幅频谱（简称频谱）. 若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅 ，把点 用图形表示出来，这样的图 形就是频谱图. 由于 ,所以频谱 不连续的，称之为离散频谱． 的图形是 7．3 傅里叶变换定义 7.3.1 傅里叶变换的定义 由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义 定义7.3.1 傅里叶变换 若 满足傅氏积分定理条件， 称表达式 （7.3.1） 为 的傅里叶变换式,记作 ．我们 称函数 为 的傅里叶变换，简称傅氏变换 （或称为像函数）． 定义7.3.2 傅里叶逆变换 如果 (7.3.2) 则上式为 的傅里叶逆变换式，记为 我们称 为 （或称为像原函数或原函数）． 的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换 由（7.3.1）和（7.3.2）知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互 逆变换，即有 (7.3.3) 或者简写为 7.3.2 多维傅氏变换 在多维（ 维）情况下，完全可以类似地定义函数 的傅氏变换如下： 它的逆变换公式为： 7.3.3 傅里叶变换的三种定义式 在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式： 第一种定义式 2.第二种定义式 3.第三种定义式 三者之间的关系为 三种定义可统一用下述变换对形式描述 * * 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用． 所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 ，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分） 变为另一函数类 B中的函数 这里 是一个确 定的二元函数，通常称为该积分变换的核． 称为 的像函数或简称为像， 称为 的原函数． 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解． 另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换: （1）特别当核函数 （注意已将积分参 变量 改写为变量 ），当 ，则 称函数 为函数 的傅里叶（Fourier）变换， 简称 为函数 的傅氏变换．同时我们称 为 的傅里叶逆变换． （2）特别当核函数 （注意已将积分参变量 改写为变量 ），当 ，则 称函数 为函数 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称 为函数 的拉氏变换．同时我们称 为 的拉氏逆变换． 本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容 7.1.1　周期函数的傅里