七章图的基本概念.pptVIP

第七章 图的基本概念 7.1 无向图及有向图 7.2 通路、回路、图的连通性 7.3 图的矩阵表示 作 业 7.1 无向图及有向图 设A,B为两集合,称 {{a,b}｜a∈A∧b∈B} 为A与B的无序积,记作A＆B． 将无序对{a,b}记作(a,b). 无向图 一个无向图G是一个二元组V,E,即G＝V,E,其中, (1)V是一个非空的集合,称为G的顶点集,V中元素称为顶点或结点； (2)E是无序积V＆V的一个多重子集,称E为G的边集,E中元素称为无向边或简称边. 有向图 一个有向图D是一个二元组V,E,即D＝V,E,其中, (1)V同无向图中的顶点集； (2)E是卡氏积的多重子图,其元素称为有向边,也简称边. 给每条边赋与权的图G=V,E称为加权图， 记为G=V,E,W,其中W表示各边权的集合。 设ek＝(vi,vj)为无向图G＝V,E中的一条边,称vi,vj为ek的端点, ek与vi(或vj)是彼此关联的. 无边关联的顶点称为孤立点.若一条边所关联的两个顶点重合,则称此边为环. ek与vi(或vj)的关联次数 设G＝V,E为一无向图或有向图 (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图． (3)若E＝?,则称G为零图．特别是,若此时又有｜V｜＝1,则称G为平凡图. 相邻 设无向图G＝〈V,E〉,vi, vj∈V, ek,el∈E. (1)若存在一条边e以vi, vj为端点,即e＝(vi, vj),则称vi, vj是彼此相邻的,简称相邻的． (2)若ek, el至少有一个公共端点,则称ek, el是彼此相邻的,简称相邻的． 始点 终点 以上两定义对有向图也是类似的 若ek ＝〈vi, vj〉,除称vi, vj是ek的端点外,还称vi是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj,vj邻接于vi. 度 设G＝V,E为一无向图,vj∈V,称vj作为边的端点的次数之和为vi的度数,简称度,记作d(vj). 称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对应的边为悬挂边. 设D＝V,E为一有向图,vj∈V, 称vj作为边的始点的次数之和,为vj的出度,记作d+(vj)； 称vj作为边的终点的次数之和,为vj的入度,记作d-(vj)； 称vj作为边的端点的次数之和,为vj的度数,简称度,记作d(vj). 显然d(vj)＝d + (vj)＋d- (vj). deg(v1)＝3，deg+(v1)＝2，deg-(v1)＝1； deg(v2)＝3，deg+(v2)＝2，deg-(v2)＝1； deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3； deg(v4)＝deg+(v4)＝deg-(v4)＝0； deg(v5)＝1，deg+(v5)＝0，deg-(v5)＝1； 其中，v5是悬挂结点，v1，v5为悬挂边。 最大度和最小度 对于图G＝V,E,记 Δ(G)＝max{d(v)｜v∈V}, ? (G)＝min{d(v)｜v∈V},分别称为G的最大度和最小度. 若D＝〈V,E〉是有向图,除了Δ(D),?(D)外,还有最大出度、最大入度、最小出度、最小入度,分别定义为 基本定理(握手定理) 设图G＝V,E为无向图或有向图,V＝{v1,v2,...,vn},|E|=m(m为边数),则 推论 任何图(无向的或有向的)中,度为奇数的顶点个数为偶数. 定理 设有向图D＝V,E,V＝{v1,v2,...,vn}, ｜E｜＝m,则 度数序列 设V＝{v1,v2,...,vn}为图G的顶点集,称(d(v1),d(v2),...,d(vn))为G的度数序列. 例7.1 (1) (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？ (2) 已知图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2.问G中至少有多少个顶点？为什么？ 平行边、重数、多重图、简单图 例 无向完全图、有向完全图 设G=V,E是n阶无向简单图,若G中任何顶点都与其余的n－1个顶点相邻,则称G为n阶无向完全图,记作Kn. 设D=V,E为n阶有向简单图,若对于任意的顶点u,v∈V(u≠v),既有有向边u,v,又有v,u,则称D是n阶有向完全图. Kn均指无向完全图. 图7.2 子图、真子图 设G=V,E, G ‘=V’,E是两个图.若V’?V,且E?E,则称G 是G的子图, G 是G’的母图,记做G’? G. 若G’? G且G‘≠G(即V’?V或E‘? E),则G’是G的真子图. 生成子图、导出子图 若G’? G且V’=V则称V’是V的生成子图. 设V1?V ,且V1≠?,以V1为顶点集,以两端点均在V1中的全体边为边集的G的子图,称为V1导出的