三多维随机变量及其分布.pptVIP

三、多维随机变量及其分布 设X1,X2,…,Xn为定义在同一样本空间上的随机变 量，则称这n个随机变量的整体(X1,X2,…,Xn)为n维 随机变量(或n维随机向量). 1. 联合概率分布 如果二维随机变量(X,Y)的每个分量X和Y都是离 散型的, 则称(X,Y)为二维离散型随机变量. 3. 联合概率分布的性质 (2) 当0y1时,Y 的概率密度为 在其它点(x,y)处， 因此 (3) 由图, 考点二:利用已知分布求相关事件的概率 搞清楚随机变量所表示的事件,利用概率的基本 性质和重要公式以及常见分布的定义和性质求解. 记住几个常见分布 例3 设X和Y均服从 且 则 解 例4 设Xi(i=1,2)的分布律均为 Xi -1 0 1 (i=1,2) 且满足 则 -1 0 p12 0 1/4 0 p21 p22 p23 1/2 1 0 p32 0 1/4 1/4 1/2 1/4 1 X2 X1 -1 0 1 由表p12=1/4, p32=1/4,从而p22=0, 故 解 由 易知 即 Xi都不取零 列出联合分布律： 考点三: 随机变量的独立性 X,Y 相互独立 X,Y 相互独立 1.一般型： X,Y 相互独立 F(x,y)=FX(x)FY(y) 2.离散型： 3.连续型： 例5 设二维随机变量 则 解 因(X,Y)服从二维正态分布,且 故X和Y相互独立,且 例6 设随机变量X和Y独立同分布,试证明 证明：设X和Y的分布函数为F(x)和F(y),密度函数为 f (x)和f (y),由独立性知X和Y的联合密度函数为f (x,y) =f (x) f (y),故 考点四：随机变量函数的分布 掌握利用分布律或分布函数的定义求解的方法. 求解时注意随机变量独立性的条件. (重点和难点：求二维随机变量的函数的分布) 注意处理分段多元函数的积分. 例7 将两封信随机地往编号为1,2,3,4的4个邮筒内 投. Xi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2). (1)写出(X1,X2)的联合分布及(X1,X2)中关于X1的边缘 分布；(2)两个邮筒内信的数目之和X1+X2的分布律. 解 (1) Xi所有可能取值：0,1,2. 试验共有42=16种不同的等可能结果: 1/16 6/16 9/16 2 1 0 1/16 0 0 1/16 2 6/16 0 2/16 4/16 1 9/16 1/16 4/16 4/16 0 2 1 0 上表计算出 的边缘分布 计算结果列于下表并计算X1的边缘分布 0 0 1/16 2 0 2/16 4/16 1 1/16 4/16 4/16 0 2 1 0 1/4 1/2 1/4 2 1 0 (2) 求X1+X2的分布律：所有可能取值0,1,2,3,4. 因此，X1+X2的分布律： * 随机变量 随机变量的分布函数的概念及性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考试内容 （一）n维随机变量与联合分布函数 1.n维随机变量的定义 2.联合分布函数与边缘分布函数 设(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量,则称Rn上的n元 函数 F(x1,x2,…,xn)=P(X1?x1,X2?x2,…, Xn?xn) (x1,x2,…,xn)?Rn 为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数. n维随机变量(X1,X2,…,Xn)中每个变量Xi的分布 函数FX(xi)称为边缘分布函数，i=1,2, …,n. 3.联合分布函数与边缘分布函数之间的关系 设F(x,y)为联合分布函数，关于X和Y的边缘分布 函数分别为FX(x)和FY(y) ，则有 (二)二维离散型随机变量 (X,Y)的联合概率分布有两种表示： 2.联合概率分布 (1)设(X,Y)的一切可能值为 则称 为(X,Y)的联合分布律，或联合概率分布. Y … … … … … … … pij … pi2 pi1 xi … … … … … … … p2j … p22 p21 x2 … p1j … p12 p11 x1 … yj … y2 y1 X （2） (X