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三、描述統計 3. Descriptive Statistics 統計圖表與數字 採用數字來表現資料，可以比觀看圖形更精確的顯示資料的集中趨勢與分散程度。 集中量數 算術平均數 Arithmetic Mean 中位數 Median 眾數 Mode (算術)平均數 以μ表示母體平均數 以x表示樣本平均數 (算術)平均數 所有觀察值的總和除以觀察值的個數就是算術平均數。 資料的平衡點。 是使各觀察值與其相減的差的平方和最小之值。 對每個觀察值的變化都有反應，但易受極端值的影響。 適合進行統計推論 中位數Median 依數值大小排列居中的數。 若數值個數為奇數，則中位數為中央之數。若數值個數為偶數，則中位數為中央二數的平均。 極端值影響不大。 不容易進行代數運算。 可進行無母數分析 Mode眾數 觀察值中出現最多的的數值或類別。 較適合描述類列資料 不受極端值影響 可能有不只一個也可能沒有眾數 不適合進行統計分析 離散量數 全距 變異數與標準差 四分位數與四分位差 百分位數 全距Range 最大值 - 最小值 全距越大表示分散程度越大 只考慮兩個數字，不能精確反應全體情形 易受極端值影響 變異數標準差Variance standard deviation 以σ2及σ分別代表母體變異數及母體標準差 以s2及s分別代表母體變異數及母體標準差 注意：計算分母不同 Variance standard deviation變異數標準差 變異數 變異數為0時，表示所有觀察值都同 單位相同時可做比較 每個觀察值的變化都被考慮 標準差 變異數開根號就得到標準差 與平均數有相同單位，可用來衡量觀察值與平均數的距離 與變異數有相同特質 四分位數與四分位差 將觀察值依序分成四等分的個數的值，用於次序，等距或比例變數。 因此有第一，第二，第三，四分位數(Q1，Q2，Q3) 第二四分位數就是中位數 第一四分位數為中位數左邊（比中位數小，不含中位數）數值的中位數 第一四分位數為中位數右邊（比中位數大，不含中位數）數值的中位數 四分位差：IQR = Q3 – Q1 四分位差比較不受極端值影響，可避開全距的缺點 百分位數與百分等級 百分位數是將資料分為一百等份的99個數值 百分等級是表示某個觀察值在整體中比多少百分比的觀察值大。可以反映出該觀察值在整體中的相對位置。 偏態 偏態 (a)左偏、(b) 右偏、(c)對稱 注意：偏態的方向描述是極端值方向 盒形圖 盒形圖(Boxplot, or Box-and-whisker diagram)，又稱盒圖、或盒鬚圖，是由美國統計學者John Tukey 設計。 盒圖中間的盒子，是從第一四分位數延伸到第三四分位數 盒圖裡的直線標示出中位數的位置 盒圖兩頭有直線往外延伸到(不含離群值的)最小數和最大數 離群值：大過第三四分位數1.5IQR 及小過第一四分位數1.5IQR 例 – 某班52位學生去年一年閱讀課外書籍數 最小值 = 0 Q1 = 1 Q2 = 3 (中位數) Q3 = 5.5 最大值 = 99 IQR = 5.5 - 1 = 4.5 5.5 + 1.5 * 4.5 = 12.25 比12.25 小的最大觀測值是12，盒形圖右端直線的終點是12，超出12 的被視為離群值以點標示 1 – 1.5 * 4.5 = -5.75 比-5.75 大的最小觀測值為0，盒形圖左端直線的終點是0，無離群值。 * * 　 20 6 4 2 1 　 20 5 4 2 0 　 15 5 4 2 0 　 15 5 3 2 0 　 14 5 3 2 0 　 14 5 3 2 0 　 13 5 3 1 0 　 12 4 2 1 0 99 10 4 2 1 0 30 10 4 2 1 0 *