三章线方程组.pptVIP

第三章 线性方程组 第一节 线性方程组的消元法 2. 线性方程组的线性组合 线性方程的加法： 线性方程乘常数 将线性方程 (3) 在第一章用消元法讨论线性方程组 定理1 其中 因为 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 例1 解齐次线性方程组 原方程的同解方程组为 令 ，将之写成为通常的参数形式 第三节 线性方程组的应用 现代飞行器外形设计例 把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。  向量组的线性相关性的应用 Matlab代码 u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8]; u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2]; u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0]; u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0]; u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6]; u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20]; U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7] [U0,r]=rref(U) 计算结果为 二次型的应用 可逆矩阵的应用 矩阵对角化的应用 人口迁徙问题 设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变 化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的 郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居 民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 分析与求解 这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区 和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分 别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后， 市区人口为 xc1? (1?0.06) xc0?0.02xs0， 郊区人口 xs1? 0.06xc0 ? (1?0.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成： 建立模型并用MATLAB求解 从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式 可写为 输入：A?[0.94,0.02;0.06,0.98], x0?[0.3;0.7] x1?A*x0, x10?A^10*x0, x30?A^30*x0, x50?A^50*x0 得到： 人口分布趋势分析 无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。 为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值。先求A的特征值和特征向量，得到 将A对角化 人口分布的趋势 式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k?27，这第二项就可以忽略不计，从而得到 。 由U0的最后三列可以看出结果 一个最大无关组为：u1, u2, u4, u5, u7,v3, 可以看出 v1=u1+3u2+2u4， v2=3u1+4u2+2u4+u7 由于v3在最大无关组,不能被线性表示，所以无 法配制。 特征值、特征向量的应用 假设A可对角化，特征向量 ， ， 特征值 的基，故任一初始向量 x0 可惟一表示为 (1) x0的这种特征向量分解确定了序列 所发生的情况。因为 是特征向量，所以 一般地有 (2) 下面的例子说明当 时，(2)会出现什么结果。 生态系统 用 表示在时间k（单位：月）猫头鹰和老鼠的数量， 是在研究区域猫头鹰的数量， 是老鼠的数量（单位是