三章随机变量向量的数字特征.pptVIP

* * 第三章 随机变量（向量）的数字特征 概率论 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量间的协方差与相关系数 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 随机变量的数学期望 Mathematical Expectation 以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学高数成 绩的平均状态。 一、引例 某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为 二、数学期望的定义 离散型随机变量 Def 设离散型随机变量的概率分布为 连续型随机变量 Def 设连续型随机变量的概率密度为 ，若广义积分 随机变量数学期望所反应的意义 例3.1已知随机变量X的分布律为 1/4 1/2 1/4 6 5 4 求数学期望 解：由数学期望的定义 例3.2已知随机变量X的分布律为 求数学期望 解：由数学期望的定义 1 0 X 例3.3已知随机变量 。求数学期望 例3.4已知随机变量 。求数学期望 例3.5已知随机变量 。求数学期望 例3.6已知随机变量 。求数学期望 例3.7 若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计) N 的数学期望. 的分布函数为 二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望 (X,Y)为二维离散型随机变量 (X,Y)为二维连续型随机变量 例3.8 设(X,Y)的联合密度为 1 1 3 解： 随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设 是随机变量 X的函数， 离散型 连续型 该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X) 的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函 数的期望带来很大方便. 例3.9 解：因为 2. 二元随机变量函数的情况 离散型 连续型 例3.10 例3.11 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为 随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)； 4. 设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)； 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立 证明：这里只证明3，4 利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。 例3.12 设随机变量X~B(n, p)，求二项分布的数学期望。 X~B(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。 解： 例3.12 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2 则X的所有可能取值为0,1,2 设产生故障的仪器数目为X 解: 所以，产生故障的仪器数目的数学期望 数学期望在医学上的一个应用 An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？ 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X 需要计算X的数学期望，然后与10比较 化验次数X的可能取值为1，11 先求出化验次数X的分布律 {X=1}=“10人都是阴性” {X=11}=“至少1人阳性” 结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。 注意求 X期望值的步骤！ 问题的进一步讨论 1.概率p对是否分组的影响？ 2.概率p对每组人数n的影响? 随机变量的方差 Variance 随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 方差的计算公式 与 有相同的量纲 均方差（标准差） 离散型 设离散型随机变量X的概率分布为 连续型 设连续型随机变量X的分布密度为 f (x) 方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。 例3.14已知随机变量X的分布律为 1 0 求方差 解： 例3.15已知随