三节导数四则运算和反函数求导法则.pptVIP

第三节 导数四则运算和 反函数求导法则 二、求导的四则运算法则 三、反函数求导法则 * * 一、从定义出发求导函数 二、求导的四则运算法则 三、反函数求导法则 求 的导数 . 解: 即 例4.3.1 例4.3.2 求 的导数及 . 解 一、从定义出发求导函数 即 同理可得 . 且 例4.3.3 求 的导数 . 解: 求 的导数 即 ，特别地 . 例4.3.4 解 即 ，特别地 . 例4.3.5 求 的导数 . 解 当 时， 当 时， 即 . 例如 例4.3.6 解：由导数的几何意义，得切线斜率为 求等边双曲线 在点 处的切线 方程和法线方程. 所求的切线方程为 , 即 ; 所求的法线方程为 , 即 . 如下的线性运算关系： 定理4.3.1 设 和 都是可导的，则对任意常数 和 ，它们的线性组合 也可导，且满足 或 证明: 例4.3.7 求 的导数 解: 定理4.3.2 设 和 都是可导的，则它们的积 函数是可导的，且满足: 或 证明: 例4.3.8 求 的导数 . 解: 例4.3.9 求 的导数 解: 定理4.3.3 设 可导且 ,则它的倒数也可导， 且满足: 或 证明: 例4.3.10 求 的导数. 解: 即 同理可得 推论 设 和 都是可导的且 ，则它们的商 函数也是可导，且满足: 或 例4.3.11 求 的导数. 解: 同理可得 . 定理4.3.4(反函数求导定理) 若函数 在 记 上连续、严格单调、可导并且 则它的反函数 在 上可导，且有 证明: 因为 在 上连续且严格单调，由反 函数连续定理,它的反函数 在 上存在且 连续. 由于 在 上可微，且 ， 因而 ~ ， (即 ) 从而 ~ ， (即 ) 即 即 在 处可导且它的导数 求 的导数 解: 在 内单调、可导，且 所以在 内有 同理可得 例4.3.12 例4.3.13 求双曲函数及反双曲函数的导数. 解: 由于 于是 同理可得 由于 和 同理可得 反双曲函数的导函数可按反三角函数类似导出: 同理可得 定理4.3.1和定理4.3.2可推广到多