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主題: Dynamic Programming (II) 經典問題 Longest Common Subsequence Longest Increasing Subsequence Matrix-chain Multiplication Optimal Polygon Triangulation 例題講解: H.89.4 歷年題目 Longest Common Subsequence Subsequence: 對字串 T 而言，T 的 subsequence 為從 T 中消掉某些字元可以得到的新字串 對數列也有類似的定義 Longest Common Subsequence 對兩個字串 X = x1x2…xn 和 Y = y1y2…ym求兩字串中相同且最長的 subsequence LCS: Optimal Substructure 若 xn = ym，則在 LCS 中有包含這兩個的解，至少跟沒有同時包含這兩個的任何解一樣好 LCS: Optimal Substructure (cont.) 所以若 xn = ym，就取這兩個為 LCS 的一部分，然後求 X[1…n-1] 和 Y[1…m-1] 的 LCS 來和這兩個合併 若 xn ? ym，則 LCS 就會是下面兩種其中之一的解X[1…n] 和 Y[1…m-1] 的 LCSX[1…n-1] 和 Y[1…m] 的 LCS LCS: Recurrence 定義 L[i, j] 為 X[1…i] 和 Y[1…j] 之間的 LCS 長度 LCS: Build Table LCS: 節省空間 雖然 LCS 是二維 m?n 的 recurrence，但在 row-major (column-major) 順序下，每一個 row (column) 都只需要看前一個 row (column) 就可以算出 LCS 的長度，更前面的部分就用不到 若不需要 backtracking，則只需要兩個 row (column) 就足夠算出長度的最佳解 Longest Increasing Subsequence 給一串數列 a1, a2, …, an，從數列中找出最長且數字依序單調遞增的subsequence LIS: 直覺解法 依照定義，LIS 是原數列的 subsequence 若將 a1, a2, …, an 照大小重排會變成一個遞增數列 B = b1, b2, …, bn，由於 LIS 也是遞增數列，LIS 為 B 的 subsequence LIS 為原數列 A 和新數列 B (對 A 做 sort 所得) 兩者的 LCS LIS: Example Matrix Multiplication 一個大小為 a ? b 的矩陣與大小為 b ? c 的矩陣相乘，需要做 (a ? c) ? b 次乘法和加法，然後得到一個 a ? c 的矩陣 Matrix-chain Multiplication 給定 n 個需要連續相乘且大小不等的矩陣 A1 ? A2 ? … ? An，其中第 i 個矩陣 Ai 的大小為 pi-1 ? pi，為了使運算量最少，請求出最好的運算順序(用括號表示) Ex: (p0, p1, p2, p3) = (50, 5, 100, 10) MCM: Optimal Substructure 假設要先把 A1 ? … ? Ai 和 Ai+1 ? … ? An 兩個部分做完，然後這兩個部分再來對乘，則在此情形下最好的解必定是先做 A1 ? … ? Ai 的 MCM，再做 Ai+1 ? … ? An 的 MCM，最後再把兩個完成的矩陣相乘  A1A2A3A4A5A6A7 MCM: Recurrence 令 m[i, j] 為做 Ai ? … ? Aj 的 MCM 所需的最少運算量 m[i, j] = min {m[i, k] + m[k+1, j] + pi-1pkpj} m[i, i] = 0 for all i MCM: Build Table MCM: Backtracking 在計算 m[i, j] 時所取的 k 表示從 Ai 到 Aj 之間最好的計算順序是先算 Ai 到 Ak，再算 Ak+1 到 Aj，最後兩邊相乘? (Ai ? … ? Ak)(Ak+1 ? … ? Aj) 用一個額外的陣列 c[i, j] 來幫每個 m[i, j] 記住其最好的 k Polygon Triangulation 給定一個 n 邊的凸多邊形，只要加入 n – 3 條互不相交的對角線，就可以把此多邊形切成 n – 2 個三角形 Triangulation 的 cost 按照不同題目的定義，可以給每一個 ?abc 一個 cost w(?abc ) 每種 tr