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九年级数学(下)第三章 圆 2. 圆对称性(1)垂径定理 圆的对称性 圆是轴对称图形吗？ 圆的对称性 圆是轴对称图形. 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC). 垂径定理 AB是⊙O的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 垂径定理 如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 垂径定理的逆定理 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 垂径定理的逆定理 如图,在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 垂径定理及逆定理 挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 挑战自我 习题3.2 2题 祝你成功! 结束寄语 不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也. * * 想一想 1 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ ●O 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少条对称轴？ 你又是用什么方法解决这个问题的? 想一想 2 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. ●O 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个问题. 读一读 3 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). ●O 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). AB ⌒ 以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”. AB ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). ⌒ AmB 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母). A B C ⌒ m ③AM=BM, 做一做 4 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ●O 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: A B C D M└ 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 做一做 5 ●O A B C D M└ 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. 想一想 6 ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. ②CD⊥AB, 做一做 7 过点M作直径CD. ●O 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: C D ⌒ AmB 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ● M A B ┗ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的! 想一想 8 ●O A B C D M└ ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 想一想 9 ●O A B C D M└ ①②③ ④⑤ ①②④ ③⑤ ①②⑤ ③④ ①③④ ②⑤ ①③⑤ ②④ ①④⑤ ②③ ②③④ ①⑤ ②③⑤ ①④ ②④⑤ ①③ ③④⑤ ①② 命题 结论 条件 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 随堂练习 10 ●O A B C D 1.两条弦在圆心的同侧 ●O A B C D 2.两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 试一试 11 挑战自我画一画 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM. ●O ●M 试一试 12 挑战