九节各种积分间的关系.pptVIP

* 第九节 各种积分间的关系 一 格林（Green)公式及其应用 二 高斯(Gauss)公式 格林 （Green.George） 简介 格林 （1793—1841）十八世纪英国数学家 8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅 力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表 了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却 包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。 磨坊工数学家 * 1.区域连通性的分类 一 格林公式及其应用 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为 复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D * 2.格林公式 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 二重积分与其区域边界上 的曲线积分之间的联系 格林公式 * 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 规 定 注： 1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。 2.边界是反方向，则 3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 边界必须是区域的整个边界。 * 证明：(1)特殊情形 y x o a b D c d A B C E * 同理可证 y x o D c d A B C E * 证明(2) D 两式相加得 * * 格林公式的实质: 揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系. * 3. 简单应用 (1) 简化曲线积分的计算 * 证: 令 则 利用格林公式 , 得 * (2) 简化二重积分的计算 * x y o * * 解 * x y o L y x o * x y o (注意格林公式的条件) * (3) 计算平面区域面积 * * 解 由求面积的公式： * 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围 原式 区域为D , 则 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 注 * 若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向. 思考题 * 思考题解答 L由两部分组成 外边界： 内边界： * G y x o 4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 B A 如果在区域G内有 * 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 * 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 * 由定理2知： 积分与路径无关，可以取路径为平行于 坐标轴的折线，即