2014高中数学 122等差数列（二）教案 北师大版必修5.docVIP

第五课时§1.2.2等差数列（二） 一、教学目标 1、知识与技能：（1）明确等差中项的概念；（2）进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；（3）能用图象与通项公式的关系解决某些问题。 2、过程与方法：（1）通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想；（2）发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。 3、情感态度与价值观（1）通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点；（2）通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣。 二、教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、导入新课 师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？ 生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-a n-1=d(n≥2，n∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示). 师 对，我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{an}的通项公式应是an=a1+(n-1)d. 生2 等差数列{an}还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数). 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：①d=an-a n-1；②；③.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②与③记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差). ［合作探究］探究内容：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？ 师 本题在这里要求的是什么? 生 当然是要用a，b来表示数A. 师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答? 生 由定义可得A -a=b-A，即. 反之，若，则A-a=b-A, 由此可以得a,A,b成等差数列. （二）、推进新课 我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项. ［方法引导］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列. ［合作探究］ 师 在等差数列{an}中，d为公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？ 生 我得到了一种关系am+an=ap+aq. 师 能把你的发现过程说一下吗？ 生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7. 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？ 生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d. 因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq. 师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{an}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq. 同样地，我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容. 师 注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗? 生 我举常数列就可以说明了. 师 举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件. ［例题剖析］ 【例1】 在等差数列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9. 师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？ 生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根