2014高中数学 133等比数列的前n项和（一）教案 北师大版必修5.docVIP

第十课时 1.3.3等比数列的前n项和（一） 一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；⑵探索并掌握等比数列前n项和公式；⑶用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；⑷体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想。2、过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动。3、情感态度与价值观：⑴通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；⑵在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；⑶通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。 二、教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用。 教学难点 等比数列前n项和公式的推导。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、导入新课 师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言. 师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求. 师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？ 生 各持己见.动笔，列式，计算. 生 能列出式子：麦粒的总数为 1+2+22+…+263=? 师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示：1+2+22+…+2 63=? 师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,② ②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识. （二）推进新课 ［合作探究］ 师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察. 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究. 师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q2+…+qn+q n+1. 生 每一项就成了它后面相邻的一项. 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？ 师 生共同探索：如果记Sn=1+q+q2+…+qn,那么qSn=q+q2+…+qn+q n+1. 要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn. 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值. 生 如果q≠1，则有. 师 当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果. 生 如果q＝1，那么Sn=n. 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示：a1+a2+a3+…+an=？ ［教师精讲］ 师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”. 师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”. 如果记Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 师 再次提醒学生注意q的取值.如果q≠1，则有. 师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q≠1，则有. 师 上述推导过程，只是形