二向量空间的基与维数.pptVIP

* * 二、向量空间的基与维数 定义9 设V为向量空间，如果 r 个向量 α1, α2 ,…, αr ∈V , 且满足 (1) α1, α2 ,…, αr 线性无关； (2) V中任一向量都可由α1, α2 ,…, αr 线性表示， 那末，向量组α1, α2 ,…, αr 就称向量空间V的一个基，r 称为 向量空间V的维数，并称V为r 维的向量空间。 1、如果向量空间V没有基，那末V的维数为0。 2、0维的向量空间只含有一个零向量0。 3、若把向量空间V看作向量组，则V的基就是向量组 的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 4、V0 = {x = (0, x2, …, xn)T | x2,…, xn ∈R} 的一个基为： 所以V0是一个n－1维的向量空间。 5、由向量组α1,α2,…,αm所生成的向量空间 V = { x = λ1α1 + λ2α2 + … +λmαm | λ1, λ2, …, λm ∈ R }。 显然，向量空间V与向量组 α1, α2,…, αm 等价，所以向量组 α1,α2,…,αm 的极大无关组就是V的一个基， α1,α2,…,αm 的秩 就是V的维数。 6、若向量空间V?Rn,则V的维数不会超过 n 。并且， 当 V 的维数为 n 时，V = Rn 。 7、若向量组 α1,α2,…,αr 是向量空间 V 的一个基，则 V 可表示为 V = { x = λ1α1 + λ2α2 + … +λrαr | λ1, λ2, …, λr∈ R }。 这就清楚地显示出一个向量空间V的构造。 例6 设 A = ( α1,α2,α3 ) = B = ( b1,b2 ) = 验证 α1,α2,α3是R3的一个基，并把 b1,b2 用这个基线性表示. 解 要证α1,α2,α3 是R3的一个基，只需证 α1,α2,α3 线性 无关，即证A ~ E 即可。 设 b1 = x11α1+x21α2+x31α3 b2 = x12α1+x22α2+x32α3 即 ( b1,b2 )＝ (α1,α2,α3 ) 记作 B = AX。 对矩阵（A|B）施行初等行变换，若 A 能变为 E，则 α1,α2,α3为R3的一个基，且当 A变成 E 时，B 变为X = A-1B. ( A|B ) = 显然，A ~ E，故 α1,α2,α3 是 R3 的一个基，且 ( b1,b2 )＝ (α1,α2,α3 ) 三、过渡矩阵与坐标变换 1、过渡矩阵 设n维向量空间V的两组基为 A : α1 , α2 , … , αn B : β1 , β2 ,… , βn 由于A组基与B组基等价，所以 即(β1 , β2 ,… , βn ) = (α1 , α2 , … , αn )C. 称矩阵 C 为由基α1 , α2 , … , αn到基 β1 , β2 ,… , βn 的过渡矩阵。其中 C = v = ( α1 , α2 , … , αn) = (α1 , α2 , … , αn )C 从而，得 *