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第二章 Z变换及离散时间系统分析 Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems Analysis 思考 本章z变换分析法，即离散信号与系统的“频率域分析”，与前一章“时域分析”相对。 思考：为什么要进行“频域分析”？ 2.0 预备内容—— 连续信号与系统分析 时域:f(t)、微分方程 频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（FT） 离散信号与系统分析 时域:x(n)、差分方程 频域：Z变换、序列的傅立叶变换(DTFT) 2.0 预备内容—— 傅里叶变换 2.0 预备内容—— 拉普拉斯变换 2.1 Z变换定义 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 一个离散序列 x（n）的Z变换定义为： 收敛域：一般，序列的z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。级数一致收敛的条件是绝对值可和。 以上的这种变换也称为双边 z 变换。 与此相应还有单边 z 变换，单边 z 变换只是对单边序列（n=0部分）进行变换的z变换，其定义为： 单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。 Z变换、拉氏变换(LT) 、傅里叶变换（DTFT） Z变换与拉氏变换 Z变换与傅里叶变换（DTFT） 2.2 Z变换收敛域 2.2 Z变换收敛域 两点说明 同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是不相同的。 收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。 常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 零点：分子多项式P(z)的根 极点：分母多项式Q(z)的根 2.3 常用序列Z变换 2.4 Z变换性质 2.4 Z变换性质 例 长除法——幂级数展开 部分分式 留数法 注意： 积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线 积分路径内部 的极点的留数 当n取不同的值，z=0处的极点的阶次不同 2.5 Z反变换 II)求暂态解（零输入解） 全响应 2.6 Z变换求解差分方程 线性时不变离散系统四种表示方法 频率响应 转移函数 （也称系统函数） 差分方程 卷积关系 转移函数定义为系统单位抽样响应的Z变换，也是系统输出、输入Z变换之比 FIR系统：h(n)为有限长，输入端不含输出对输入的反馈，系统总是稳定的 IIR系统： h(n)为无限长，输入端包含输出对输入的反馈，存在稳定性问题 零极点分析 由式2.1因式分解，得到： 使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z值分别称为系统的零点和极点。 分析系统因果性 分析系统稳定性:一个LTI系统稳定的充要条件是其所有的极点位于单位圆内 估计系统频率响应：几何分析法 数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。 其中K为实数，用z=e jw代入，即系统的频率响应为： 结束 2.7 转移函数 2.7 转移函数 2.7 转移函数 2.7 转移函数 其模等于： 其相角为： 2.7 转移函数 * * 该变换存在的充分条件： 傅里叶变换的局限性: 1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件[如U(t)]; 3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难; 4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应 2) 有些信号不存在傅立叶变换如 引入衰减因子： 使得： 求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ： 对 可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换，即拉氏变换的特例 2.1 Z变换定义 2.1 Z变换定义 理想冲激抽样序列 x(t)：有限带宽信号 通过抽样，得到如下的离散序列： 2.1 Z变换定义 0 Re[z] r rejw Im[z] 2.1 Z变换定义 Z变换与拉氏变换 2.1 Z变换定义 |z||α| α z -1 (1 - αz -1) 2 nαn u(n) |z|1 z -1 (1 - z -1) 2 n u(n) |z||α| 1 1 - αz -1 -αn u(-n-1) |z|0 1 - z -N 1 - z -1 RN (n) |z||α| 1 1 - αz -1 αn u(n) |z|1 1 1 - z -1 u(n) 全Z平面 1 δ(n) 收敛域 Z变换 序列 几条重要性质 1/Rx+|z|1/Rx- X(