二章分岔与奇怪吸引子.pptVIP

第二章  分岔与奇怪吸引子 解 ，当 时， ，此解是稳定的，是稳定的结点。 解 ，当 时， ，解是不稳定的，它是鞍点。 切分岔是一个鞍–结分岔 相流形状 由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点： μ＜0时， 轴线是结点， 是不稳定的； μ＞0时， 的轴线是不稳定的， 是稳定结点。 由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。 对方程 积分,可得： C，t0 为积分常数。 * 第一节 简单数学分岔 第二节 平方映射与倍周期分岔 第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程 第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子 分岔与奇怪吸引子 第一节 简单数学分岔 引言 分岔概念 1 切分岔 2 转换键型分岔 3 叉式分岔 4 霍夫型分岔 弹性压杆的分岔 引言 分岔概念 分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。 许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。 在P—s 平面上 当 PPc 时，杆的唯一平衡状态是保持直线； 当 PPc 时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同平衡状态的分岔点为 Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s 或 -s 。两种偏向 +s 或 -s 状态是稳定的。 1. 切分岔 数学模型 利用方程： 由 得平衡点 (a)当μ＜0时,解 x0 为虚数，因此不存在奇点， (b)当μ＞0时出现两个奇点, ， 说明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。 μ＞0 两个奇点的稳定性 在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随 时间变化。设距离： 随时间变化： 忽略高阶量 解的稳定性与相流 1. 切分岔 解 2 转换键型分岔 利用方程： 解在分岔点 ( x0 ,μ)＝(0,0) 处发生转折， 故称 转换键型分岔 解的稳定性 采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知： μ＜0，平衡点 x0=0 是稳定的,平衡点 x0= -m 是不稳定的； μ＞0，平衡点 x0=0 是不稳定的，平衡点x0= +m 是稳定的。 数学模型 平衡点 2 转换键型分岔 相流 3 叉式分岔 利用方程： 由 得平衡点 分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。 解的稳定性： μ＜0时只有 x0= 0 的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。 μ＞0有三个平衡点， x0= 0 是不稳定的，解 是稳定的。 数学模型 相流图形 杜芬方程具有叉式分岔 由势能曲线知： a. 在 时仅有一个平衡点： b.在 时存在三个平衡点： 可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解 转为三解的叉式分岔。 c.在这三个平衡点中， ，处 在势能极小点，是稳定的； 处在 势能极大点，是不稳定的平衡点。 3 叉式分岔 杜芬方程的叉式分岔 4 霍夫型分岔 数学模型 引入极坐标 求导 代入原方程 令正弦余弦系数相等 1.μ≤0，距离r 随时间而缩短，当时间 时 。说明μ轴线上 各点是稳定的焦点。 2. μ＞0，r 值随时间增长，不论初始 r 的大小；当 时 形成闭合圈即极限环 4.霍夫型分岔 分岔分析 参数μ从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于μ=0。 范德玻耳方程分岔 引进参数作用 量I 与角度量q 相位求平均 平衡点： 对于平衡点 I2 邻域有: 为初始对I2 的偏离量。作用量 I 对的偏离量 随时间指数减小。当 ， , , I2 是稳定 的解。 4.霍夫型分岔 对于平衡点 I1 邻域有: I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I 随时间指数增长, I1是不稳定解, 为不稳定焦