二章波函数和Schrodinger方程.pptVIP

其中 （二）一维无限深势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数 -a 0 a V(x) I II III （1）列出各势域的 S — 方程 方程可 简化为： -a 0 a V(x) I II III 势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为： ?2 ?2 （3）使用波函数标准条件 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。 （2）解S-方程 1。单值，成立； 2。有限：当x ? - ∞ ， ψ 有限条件要求 C2=0。 使用波函数的标准条件： 2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。 1）波函数连续： -a 0 a V(x) I II III (1)+(2) (2)-(1) 两种情况： 由（4）式 讨论 状态不存在 描写同一状态 所以 n 只取正整数，即 于是： 或 于是波函数： 由（3）式 类似 I 中关于 n = ? m 的讨论可知： 综合 I 、II 结果，最后得： 对应 m = 2 n 对应 m = 2n+1 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。 （4）由归一化条件定系数 A 一、列出各势域上的S—方程； 二、求解S—方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。 [小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下： （1）空间反射：空间矢量反向的操作。 （2）此时如果有： 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。 （三）宇称 （四）讨论 一维无限深 势阱中粒子 的状态 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。 而n = ± k, k=1,2,... 可见，n取负整数与正整数描写同一状态。 （1）n = 1, 基态， 与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没 有意义的。 （4）ψn*(x) = ψn(x)即波函数是实函数。 （5）定 态 波 函 数 （3）波函数宇称 周世勋：《量子力学教程》第二章 2.3、 2.4、 2.8 作 业 （一）引言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论 （三）实例 §8 线性谐振子 其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。 （1）何谓谐振子 量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。 在经典力学中，当质量为 ? 的粒子，受弹性力F = - kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为： 若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则 （一）引言 （2）为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数： a x V(x) 0 V0 取新坐标原点为(a, V0)，