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第二章 行列式 学时：18学时。 教学手段： 课堂讲授与学生自学提出问题进行讨论相结合，教师辅导答疑，学生演练习题。 基本内容和教学目的： 基本内容：置换概念，行列式的定义、性质及其计算。 教学目的： 1．准确理解和掌握行列式的定义和性质， 2．能较为熟练地进行行列式的计算。 本章的重点和难点： 重点 行列式的计算 难点 行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质 这个n阶行列式如何定义？ n阶行列式中一共包含有多少项？ 每一项由哪些元素组成？ 哪些项前面带正号？ 哪些项前面带负号？ 排列的定义： 反序的定义： 对换的定义： 排列的奇偶性： n阶行列式共由n!项组成； 要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积； 把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺 序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。 对一般的数字行列式，如果它的元素之间没有特定的规律，其计算方法是： 1）利用行列式性质把它化为上三角或下三角行列式，则行列式的值等于其主对角线上元素的连乘积； 2）选定某一行（列），利用行列式性质把其中元素尽可能多的化为0；然后按这一行（列）展开，如此继续下去可得结果。 如果行列式的元素之间有某种规律，特别是含字母或式子的行列式，则需根据不同情况采用不同方法加以计算，这方面的计算颇有技巧性，下面介绍一些典型方法。 一、各行（列）倍数总加法 例2.6.1：计算 解： 练习1 计算 二、逐行（列）倍数依次相加法 例2.6.2 计算 （依次把第n列，第n-1列，…，第2列乘x加到第n-1列，… 2，1列） 三、递推法 例2.6.3 计算范德蒙行列式 解： 性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换） 证：考察D的任意项 —（1） 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而也是取自 的第 行，1，2，…，n列的 n个元素的乘积，因而也是 中的一项: —（2）。 （1）项所带的符号是 , (2)项所带 的符号也是 。因而D中的任一项均为 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D= 性质1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行成立的性质，对列也同样成立。 性质2 ： 把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k，相当于用数k乘这个行列式，即 （倍法变换） 证明： 推论1： 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符号外面。 推论2： 如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个行列式等于零。 在性质2中，取k=0，即知结论成立。 性质3： 交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。（换法变换） 即设 则有： 证：取D中任一项： —（1） 它所带的符号是： ， 显然 也是 中的一项， 它所带符号为： 。由于对换改变排列的奇 偶性，故D中的任一项与 中对应项刚好相差一个符号， 故 推论3： 如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这个行列式等于零。 （交换这两行（列）即知 ） 推论4： 如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则这个行列式等于零。 （利用性质2和推论3） 性质4： 如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即（拆法变换） 证明： 性质5： 把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数k再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。（消法变换） 即 利用性质4和推论4即知。 例2.4.1 计算行列式 例2.4.2 计算行列式 定理2.4.1： 任一个n阶行列式都可以利用性质5中的行或列变换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。 证明：设 1、先设D中第一列元素不全为零，若 则把第i行所有元素同乘1加到第一行上，则 故不妨设 把第一行依次乘以 后分别加到第2行，…，第n行，则 —（1） 若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。 现对（1）中第二列的 进行考虑，同上类似， 先设它们不全为零，不妨设 ， 则利用上面相似的方法，可得 仿此不断进行下去，就可把D化为上三角行列式。 例2.4.3 计算n阶行列式 解 法一： 法二： 在一个n阶行列式 中，若有 ， 则称 为n阶对称行列式；若有 则称 为反对称行列式。 例2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于0。 证明：设 为奇数阶的反对称行列式。 由于 得 于是 例2.4.5(思考题) 计算n阶行列式 §2.5 行列式依行（列）展开 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本