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二章随机信号分析
第二章 随机信号分析 2.1 随机过程的基本概念 2.2 平稳随机过程 2.4 高斯过程 2.5 窄带随机过程 2.6 随机过程通过线性系统 2.1 随机过程的基本概念 随机过程是时间t的函数 在任意时刻观察,它是一个随机变量 随机过程是全部可能实现的总体 分布函数与概率密度: 设 表示一个随机过程, (t1为任意时刻)是一个随机变量。 F1(x1,t1)=P{ ≤x1} 的一维分布函数 如果存在 则称之为 的一维概率密度函数 的n维分布函数 数学期望与方差 E[ ]= D[ ]=E{ -E[ ] }2 =E[ ]2-[E ]2 = 协方差函数与相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 协方差 B(t1,t2)=E{[ -a(t1)][ -a(t2)]} = 相关函数 R(t1,t2)=E[ ]= B(t1,t2)=R(t1,t2)-E[ ] E[ ] , 表示两个随机过程 互协方差函数 互相关函数 2.2 平稳随机过程任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 均值,方差与时间无关相关函数只与时间间隔有关 满足(2),(3),(4)广义平稳(宽平稳) 满足(1) 狭义平稳 (严平稳) 时间平均:取一固定的样本函数(实现)对时间取平均 x(t)为任意实现 平稳随机过程 ,其实现为x1(t),x2(t),…xn(t),如其时间平均都相等,且等于统计 平均, 即 a= 则称平稳随机过程 具有各态历经性。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均,简化计算。 相关函数与功率谱密度 (4) 的直流功率(5) 的交流功率 任意确定功率信号f(t),功率谱密度 你应该知道的: 傅里叶变换 记为: F(jω)=F {f(t)} f(t) =F -1{F(jω)} 的自相关函数与功率谱密度之间互为傅氏变换关系 例:某随机过程自相关函数为R( ),求功率谱密度。 解: 例 求随机相位正弦波 的自相关函数与功率谱密度, 常数, 在(0,2 )均匀分布。 解 2.3高斯过程 任意的n维分布都服从正态分布的随机过程 一维概率密度函数 a 数学期望, 均方差, 方差 f(x)关于 x=a 对称 f(x)在 单调上升, 单调下降 或 且有 分布函数 概率积分函数 误差函数 互补误差函数 2.4 窄带随机过程窄带:信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上,中心频率远离零频 同相分量 正交分量 为零均值,平稳高斯窄带,确定 统计特性 结论1: 推导: 由于 平稳,零均值,即任意t,均有 结论2:同一时刻 不相关,或统计
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