二章随机变量向量及其概率分布.pptVIP

2.两个随机变量相互独立的等价描述 定理1设二维随机向量 的分布表及其对应分量 与 的边际分布列如下表所示，则随机变量 与 独立的充要条 件为 定理2设二维随机向量 的概率密度为 ，对应 分量 与 的边际分布密度分别为 ，则随机变量 与 独立的充要条件为 对于有些随机试验，要定量化表达其结果用一个随机变量来描述还不够，往往需要两个或两个以上变量作为整体来描述。 例如：在打靶时，命中 点的位置是由一对随机变量 (两个坐标)来确定的。 飞机的重心在空中的位 置是由三个随机变量来确定 的等等。 这就需要研究随机向量的概率规律。 一、随机向量的概念 1. 随机向量的定义 Def 设 为 个随机变量，如果 能表达随机试验 的结果，则称 为 维随机向量；有时也称为 维随机变量， 称为第 个分量。 随机向量与随机向量的分布函数 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设 为二维随机向量， 为平面内任意一点，则 称为二维随机向量 的分布函数，也称为 与 的联合分布函数。 x 图2.3 (2) (1) 即非负有界性； 3. 分布函数的性质 分布函数的概率意义如 图2.3所示，即就是随机点游 荡到阴影区域的概率。 (3) 关于 或 为非减函数； 图2.4 解: 由题设条件知试验结果需用随机向量 表示，且其概率分布如下表所示： (4) 关于 或 至少是右连续的； (5) 对于任意的数 有 性质(5)的概率意义如图2.4，即就 随机点游荡到红色区域的概率。 例2.20 设某人同时抛掷一枚5分 和一枚1分均匀硬币，用 分 别表示5分硬币出现国徽面与有字 面；用 分别表示1分硬币出 现国徽面与有字面。试将该试验结果 用变量形式表示，并求其分布函数。 1/4 1/4 0 1/4 1/4 1 1 0 4. 二维随机向量的边际分布与边际分布函数 Def 设 为二维随机向量，则称随机变量 与 的概率分布分别为随机向量 关于分量 和 的边际概率分布；随机变量 与 的分布函数分别称为随机向量 关于分量 和 的边际分布函数。 从而由分布函数的定义有 随机向量 的分布函数与边际分布函数的关系式表明，边际分布函数由随机向量 的分布函数唯一确定，但反之未必成立。 随机向量 的分布函数与边际分布函数的关系 证明:（只证明第一式，第二式同理可证） 由随机变量分布函数的定义 所以有 的分布函数为 例2.21设随机向量 的边际分布函数； 试求(1)随机向量 关于分量 (2) (3) 解: (1)由边际分布函数的定义 二维离散型随机向量与二维连续型随机向量 一、二维离散型随机向量与其概率分布的表达 1. 二维离散型随机向量 Def 设 为二维随机向量，如果 的所有可能取值点是平面上的有限个或无穷可列个点，则称 为二维离散型随机向量。 2. 二维离散型随机向量概率函数 Def 设 为二维离散型随机向量，其所有可能取值点及其对应概率如下表所示，称其为 的概率分布表。 而称 为随机向量 的概率函数或随机变量 与 的联合概率函数。 如已知随机向量 分布函数 ，则有 则有 如已知随机向量 概率函数 4. 随机向量概率函数与分布函数的关系 (2) （归一性） (1) （非负性） 3. 随机向量概率函数的性质 例2.22 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1, 2, 2， 从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等。以 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字， 求