二节一阶微分方程.pptVIP

二、齐次方程 * 第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的方程 二、齐次方程 三、线性方程 四、全微分方程 一、可分离变量的方程 的形式称为可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程的解法： 如果一个一阶微分方程能写成. 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 2、典型例题 的通解。 即为所求的通解。 解： 略 解： 略 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 令 从而化为可分离变量方程 1.定义 例 4 求解微分方程 的通解 解 原方程可化为 此为齐次方程，因而令： 分离变量，得 两边积分得 原方程的通解为 一阶线性微分方程的标准形式: 称 为 齐次线性方程. 称 为非齐次线性方程 三、线性方程 例如 线性的; 非线性的. 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 齐次线性方程 是可分离变量方程 ， 1.齐次线性方程的解法 分离变量后得 2. 非齐次线性方程的解法（常数变量法） 将齐次线性方程通解中的常数 换成函数 (8) 代入方程（6）得 即 . 或 两边求积分得 . 将上式代入(8)式得一阶非齐次线性方程的通解的公式 (9) 上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数 变易为函数 ，而后再去确定 方程的通解.这种解法顾名思义称为“常数变易法”. 或 (10) ，从而得到非齐次 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程一个特解 解 例5 先求与原方程对应的齐次线性方程 的通解. 即 分离变量得 , 两边积分得 , 从而 再由常数变易法可设原方程的解为 代入原方程得 化简得 , 两边积分得 于是原方程的通解为 . , . 3. 贝努里( )方程 形如 的方程称为贝努里方程. (13) 贝努里方程虽然不是线性方程，但我们可把(13)改写为 , 从而有 (14)