二节二重积分的计算.PPTVIP

由给定的积分限可知积分区域D的范围为 依上述不等式组可作出区域D的图形， 再化为先对y积分后对x积分的二次积分. 例8通常又称为交换二重积分次序问题. 例9 交换二次积分 的符号分次序. 解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等式表示： 如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2–x，因此 在D中 ， 例10 交换二次积分 的积分次序. 解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2. 而 的解为(1,1), 如果换为先对x积分，后 对y积分，作平行于x轴 的直线与D相交，沿x轴 正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为x=2–y，因此 .在区域D中 ,于是 由于 的解为(1,1)， 二、二重积分在极坐标下的计算 若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有如下关系： 在极坐标系中，我们 用r=常数和 =常数来分割 区域D.设 是由半径为r 和 的两个圆弧与极 角等于 和 的两条射线所围成的小区域.这个小 区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以 它的面积 因此，在极坐标系中 于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式. 也可以写成 (6) 公式(6)区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示. 现在分三种情形讨论： (1)若极点在区域D之外. 为了确定θ的变化范围，过原点作两射线：θ=α和θ=β，使D恰好被夹在 此二射线之间，且αβ. 那么，便知θ取值范围是 ；再确定r的 取值范围.则D可以记为 从而有 * 第二节 二重积分的计算 一、二重积分在直角坐标系下的计算 二、二重积分在极坐标系下的计算 一、二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法. 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个 小块 从而 有 由定积分的几何应用：设一立体满足 ， 在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面 与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体 积 设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为 (1) 在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示. 故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为 (2) 将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分. 为了简便常记为 需要指出，计算 时，应将x视为常 量，按定积分的计算方法解之. 同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为 (3) 在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则 所给立体体积 因此 (4) 即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分. 先对x积分时， 中的y应视为常量，按定积分的计算方法解之. 在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上，上述结论并不受此限制. 如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区 域的边界曲线与平行于 坐标轴的直线相交时， 交点不多于两个，用前 述方法及重积分的可加 性可求区域D上的二重 积分. 为了便于确定