二节偏导数.pptVIP

定义1. 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 注意：函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续. 例6 求函数 例如, 例7 证明函数 定理 定理 同样 内容小结 湖北经济学院数学教研室 2005.5 第二节 偏 导 数 一、 偏导数的定义及其计算法 二 、高阶偏导数 一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 处的振动速度与加速度 ,就是 中的 固定于 处,求 一阶导数与二阶导数. 关于 t 的 将振幅 在点 存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为 的某邻域内极限 设函数 注意: 若函数 在域 内每一点 处对 x 则该偏导数称为偏导函数,也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 例如, 三元函数 在点 处对 x 的偏导数 定义为 (请自己写出) 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 显然 例如, 在上节已证 在点 并不连续! 例1 求 解法1 解法2 在点(1,2)处的偏导数. 例2 设 证 例3 求 的偏导数 . (P14 例4) 解 求证 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数: 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如， 关于 的三阶偏导数为 关于 的 阶偏导数 , 再关于 的一阶偏导 数为 例5 设 求 解 解 注意: 此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 二者不等 满足拉普拉斯 证 利用对称性 , 有 方程 则 例如, 对三元函数 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等 当三阶混合偏导数 在点 连续时, 有 (证明略) 证:令 则 则 令 在点 连续, 得 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) * * * *