二节导数的运算.pptVIP

例18 一人以2米/秒的速度通过一座高为20米的桥，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度与桥垂直方向前进，求第5秒末人与小船的分离速度. 解 经过t秒人走过的距离为x=2t，船走过的距离为y= t,此时人与船的距离为s,则s满足 两端关于t求导，得 则 即所求的分离速度为 米/秒. 五、隐函数的求导法则 自变量x和因变量y是通过一个方程建立起函数关系.比如 建立了x和y之间的关系，此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数. 隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 .容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求 导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可. 例19 设y=y(x)由 确定，求 . 解 两边对x求导，得 解方程得 * 第二节 导数的运算 一、基本初等函数的求导公式 二、导数的四则运算法则　 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 五、隐函数的求导法则 六、由参数方程确定的函数的求导法则 七、对数求导法 一、基本的初等函数的求导公式 二、导数的四则运算法则 定理2.2 设u=u(x),v=v(x)可导，则　　 可导，且有 证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 于是 此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如，若u,v,w分别可导，则 因此 定理2.3 设u=u(x),v=v(x)可导，则　 可导，且有 证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则 此定理可以推广到有限个函数相乘的情况，例如u，v，w分别可导，则 由定理3.3容易得到一个重要的结论：若u可导，c为常数，则 . 即求导时，常数因子可以提出来. 定理2.4 设u=u(x),v=v(x)可导，且　　 　，则 可导，且有 证　 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则 因此 例1 解 例2 解 例3 用四则运算法则证明基本初等求导公式： 解 同样可以得到另外两个基本公式： 解 例4 例5 设f(x)=(1+x)(1+2x) (1+10x)，求 . 解 三、反函数的求导法则 定理2.5 设函数 在某区间内严格单调、可导，且 ，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导，且有 证 因为 在某区间内严格单调、连续，而严格单调连续的反函数也是严格单调连续的. 所以当 时, 且△x≠0时, △y≠0,故 例6 证明： 证 内严格单调、连续，且 所以其反函数y=f(x)=arcsin x在(－1,1)内严格单调、连续、可导，且有 同样可得　 当然，如果得到了arcsin x 的导数，也可以用下面的方法得到arccos x的导数，即 例7 证明： 所以其反函数y=f(x)=arctan x在 内严格单调，连续，可导，且有 同样也可得 证 在内 严格单调、连续，且 ， 四、复合函数的求导法则 定理2.6 设u=g(x)在x可导，y=f(u)在相应点u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x))在x可导，且有 证 由 得到 当 时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续， 复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导，且有 此时必有 或者 .因而总有 .故 例8 设y=sin3 x，求 . 解 令 例9 设y=ln(cos x)，