二节换元积分法.pptVIP

证 由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有 这就说明了 是的f(x) 原函数. 例16 求 解 例17 求 解 * 第二节 换元积分法 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 一、第一类换元法 例1 原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u,d u=2dx,从而 所以有 ？ 分析 综合上述分析，此题的正确解法如下： 解 定理4.2 证 依题意有 即有 又由复合函数微分法可得 根据不定积分的定义，则有 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法. 例2 求 解 例3 求 解 用第一换元积分法求不定积分的步骤是： 上述过程可表示为 例4 求 解 还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中，关键是换元，若在被积函数中作变量代换 还需要在被积表达式中再凑出 即 也就是 ，这样才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为 在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法. 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各式中，a，b均为常数，且 ) : 例8 求 解 例9 求 解 例10 求 解 类似地，有 例11 求 类似地，有 解 第一换元积分法还适合求一些简单的三角有理式 的积分.如计算形如： 的积分，可分两种情况： 例12 求 解 例13 求 解 还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族. 例14 求 解法1 解法2 解法3 二、第二类换元积分法 例15 求 解 一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想. 定理4.3 设f(x) 连续, 及 均连续,且 ,并设 为 的反函数,若φ(t)是 一个原函数,即 则