二节无穷积分的质与收敛判别.pptVIP

* * 第二节 无穷积分的性质与收敛判别 第十一章 反常积分 第一节 反常积分的概念 第三节 瑕积分的性质与收敛判别 §1 反常积分概念 一. 引入 例： 0 x y 1 b 解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这是的积 分区间为[1，∞）， 显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变， 则所求曲边梯形的面积为1 二、无穷限的反常积分 定义1: 设函数 f (x)在区间[a, +?)上连续, 取b a, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +?)上的反常积分, 记作 (1) 1、无穷限反常积分 这时也称反常积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称反常积分 发散, 这时记号 不再表示数值了。 例如： o y x b 1 类似地, 设函数 f (x)在区间(??, b]上连续, 取a b, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间(??, b]上反常积分, 记作 , (2) 这时也称反常积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称反常积分 发散. 即 设函数 f (x)在区间(??, +?)上连续, 都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 f (x)在区间(??, +?)上的反常积分.记作 (3) 这时, 也称反常积分 收敛; 否则就称反常积分 发散. 如果反常积分 上述反常积分统称为无穷限的反常积分. ,即 解： 注: 为方便起见, 把 a b o x y 例1 解: 例2 解: 当 p = 1时 当 p ? 1时 2、无界函数的反常积分 定义2: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的 则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的 反常积分(瑕积分). a称为f的瑕点 上有界且可积,如果极限 右邻域内无界, 但在任何闭区间(u, b] (a, b] 存在, (4) 这时也称反常积分 收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散. 类似地, b为f的瑕点 例4 计算 解: 另解 注意：（常）积分与瑕积分在记号上完全相同。