二节洛必达法则.pptVIP

* 第二节 洛必达法则 如果函数 ，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大. 那么，极限 可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型. 并分别简记为 .这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法——洛必达 法则. 一、 定理3.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件： 那么 (2)在点a的某去心邻域内, 与 存在,且 由于 可知x=a或者是f(x)，g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点. 证 如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0，g(a)=0.从而 由定理的条件可知，在点a的某邻域内以a及x为端点的区间上，f(x)，g(x)满足柯西中值定理条件.因此 如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新函数F(x)，G(x). 仿上述推证可得 定理3.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件： 证明时，只要令 就可利用定理4.4的结论得出定理4.5. 那么 存在(或为无穷大). 例1 为 型，由洛必达法则有 解 例2 求 为 型，由洛必达法则可解,设 ,则 解 例3 求 为 型，由洛必达法则有 解 例4 为 型，由洛必达法则有 解 二、 定理3.6 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件： 那么 定理3.7 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件： 那么 例5 为 型，由洛必达法则有 解 例6 为 型，由洛必达法则有 解 三、可化为 型或 型极限 1.如果 ， 则称 对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如 或 2.如果 例7 解 例8 解 应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算. 例9 为 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到 解 说明 如果 型或 型极限中含有非零因子， 如果引入等价无穷小代换，则 例10 解 所给极限为 型，可以由洛必达法则求之. 注意极限过程为 但是注意到所求极限的函数中含有因子 ，且 ，因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算. 例11 又当 时， ，故 所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则. 解 * *