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二课时方程的根与函数的零点习题课
* 第二课时 方程的根与函数的零点 (习题课) 3.1.1 方程的根与函数的零点 知识回顾 1.什么叫函数的零点? 2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法? 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 4.在上述条件下,函数y=f(x)在区间(a,b)内是否只有一个零点? 5.方程f(x)=g(x)的根与函数f(x),g(x)的图象有什么关系? 3.函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的条件是什么? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线; (2) f(a)·f(b)0. 理论迁移 例1 (1)已知函数 ,若 ac<0,则函数f(x)的零点个数有( ) A. 0 B. 1 C.2 D.不确定 (2)已知函数 有一个零点为2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是( ) A.0和2 B.2和 C.0和 D.0和 C D (3)函数 的零点所在的大致区间是 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) B 例3 已知函数 在区间[0,1]内有且只有一个零点,求实数a的取值范围. 例4 已知 (1)如果函数f(x)有两个零点,求m的取值范围; (2)如果函数f(x)在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围. 作业: 1.设m为常数,讨论函数 的零点个数. 2.若函数 在区间(-1,1)内有零点,求实数m的取值范围. 3.1.2 用二分法求方程的近似解 问题提出 1. 函数 有零点吗?你怎样求其零点? 2.对于高次多项式方程,在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式,但对于高于4次的方程,类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式,即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法. 知识探究(一):二分法的概念 思考1:有12个大小相同的小球,其中有11个小球质量相等,另有一个小球稍重,用天平称几次就可以找出这个稍重的球? 思考2:已知函数 在区间(2,3)内有零点,你有什么方法求出这个零点的近似值? 思考3:怎样计算函数 在区间(2,3)内精确到0.01的零点近似值? 0.007813 0.001 2.535 156 25 (2.531 25,2.539 062 5) 0.015625 0.01 2.539 062 5 (2.531 25,2.546 875) 0.03125 0.029 2.546 875 (2.531 25,2.562 5) 0.0625 -0.009 2.531 25 (2.5,2.562 5) 0.125 0.066 2.562 5 (2.5,2.625) 0.25 0.215 2.625 (2.5,2.75) 0.5 0.512 2.75 (2.5,3) 1 -0.084 2.5 (2,3) 精确度|a-b| f(m)的近似值 中点值m 区间(a,b) 思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法,那么二分法的基本思想是什么? 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识探究(二): 用二分法求函数零点近似值的步骤 思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么? 思考2:为了缩小零点所在区间的范围,接下来应做什么? 确定区间[a,b],使 f(a)f(b)0 求区间的中点c,并计算f(c)的值 思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)0或f(c)·f(b)0 ,则分别说明什么? 若f(c)=0 ,则c就是函数的零
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