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第二部分 群论应用第一章 点群 (一) 晶体点群 2 一, 晶体的点对称性 (1) 晶体的周期性对晶体点对称性的限制 晶格原子的周期性: l1 a1 + l2 a2+ l3 a3 ( 三维布拉伐格子 ) 取布拉伐格子中垂直于转轴的晶面 l1 a1 + l2 a2 （二维布拉伐格子） A 和 B 是格点, A’ 和 B’ 也是格点, 则有 B’A’ = m AB = m a1 ( m 为正整数倍 ) ∵ B’A’ = AB ( 1 - 2 cosθ) = m AB ∴ m = 1 - 2 cosθ ( 1≥ cosθ≥ -1 ) 又∵ ∣cosθ∣≤ 1 ∴ m = -1, 0, 1, 2, 3 五个值 相应地有 θ = 0o, 60o, 90o, 120o, 180o n 重转轴 n = 1, 6, 4, 3, 2 * (2) 晶体的点对称要素 3 晶体有如下十个点对称要素: 1, 2, 3, 4, 6 (转轴) 1, 2, 3, 4, 6 (转轴 + 反演) 其中 1 = i, 2 = m = iC2 由此十个点对称要素组成的晶体对称群称为晶体点群 ( 有一 不动点 ) (3) 对称要素构成群所受的限制（源于群的封闭性等） 例如: A 为绕 2 轴转π角 （N 和 N’互换） B 为绕 2’轴转π角 ( N 和 N’互换 ), 两转轴夹角为θ’ C = BA ( N和N’还原；但 2 轴绕NN’轴转到2”轴, 转了2θ’ ) [提问: C为何操作?] 由前述可知, 2θ’可取: 0o, 60o, 90o, 120o, 180o [答案: C ( 2θ’ ) ] 则, θ’可取: 180o, 30o, 45o, 60o, 90o 即晶体点群中，两二度轴之夹角θ’ 可取; 30o, 45o, 60o, 90o, 180o 此限制对四度轴和四度反演轴也适用 * 4 [问题1: 一晶体点群含有夹角为 30o 的两个二度转轴A和B, 问该晶 体点群必有转轴和转角是什么的转动操作? 为什么? ] [答案: 一定有转轴垂直于该两二度轴、转角为 60o 的转动操作, 根据群的封闭性, 必有 C = B A = C ( 2θ’ ) ] [问题2: 该晶体点群有 30o 的转动操作吗? (一定有, 一定无, 不一定) 为什么? ] [答案: 一定无. 因为晶体点群不允许 30o 的转动操作] [问题3: 一晶体点群含有夹角为60o 的两个二度转轴A’和B’, 问该晶 体点群有120o 的转动操作吗? ( 一定有, 一定无, 不一定 ) 为什么? ] [答案: 一定有120o 的转动操作, 如D3 群. 理由同上, 群的封闭性 ] [问题4: 该晶体点群有 60o 的转动操作吗? (一定有, 一定无, 不一定) 为什么? ] [答案: 可能