【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训40五十七41直线与圆锥曲线 理 新人教A版.docVIP

限时集训(五十七)　直线与圆锥曲线 (限时：45分钟　满分：81分) 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．双曲线C：－＝1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是(　　) A．k－　　　　　　　 B．k C．k或k－ D．－k 2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长等于(　　) A．4 B. C．2 D．不能确定 3．椭圆＋＝1(ab0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为(　　) A. B.－1 C. D.－1 4．(2013·温州模拟)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为(　　) A. B. C.p D.p 5．(2013·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．(2013·绍兴模拟)已知双曲线－＝1(a0，b0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________． 8．一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线x2＝4y上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为________． 9．(2012·重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF||BF|，则|AF|＝________. 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b1)的左，右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求|AB|； (2)若直线l的斜率为1，求b的值． 11.(2013·株洲模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0. (1)求抛物线C的方程； (2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：直线PQ过定点． 12．(2012·天津高考)设椭圆＋＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点． (1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率； (2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|. 答 案 限时集训(五十七)　直线与圆锥曲线 1．D　2.B　3.D　4.B　5.C　6.B 7．x＋2y－8＝0　8.y＝－1　9. 10．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得 |AB|＝. (2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为直线AB的斜率为1， 所以|AB|＝|x2－x1|， 即＝|x2－x1|. 则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝， 解得b＝. 11．解：(1)设抛物线C的方程为y2＝2mx， 由 得2y2＋my－20m＝0. ∵Δ0，∴m0或m－160. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 则y1＋y2＝－， ∴x1＋x2＝＋＝10＋. 再设A(x3，y3)，由于△ABC的重心为F， 则 解得 ∵点A在抛物线上， ∴2＝2m. ∴m＝8，抛物线C的方程为y2＝16x. (2)证明：当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0. 将直线y＝kx＋b代入抛物线方程，得ky2－16y＋16b＝0， ∴yPyQ＝.从而xPxQ＝＝， ∴＋＝0.∵k≠0，b≠0， 整理得b＝－16k. ∴直线PQ的方程为y＝kx－16k，PQ过点(16,0)； 当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ， ∴△POQ为等腰三角形．由 得P(16,16)，Q(16，－16)，此时直线PQ过点(16,0)， ∴直线PQ恒过定点(16,0)． 12．解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.① 由A(－a,0)，B(a,0