【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训40四十八41空间向量在立体几何中的应用 理 新人教A版.docVIP

限时集训(四十八)　空间向量在立体几何中的应用 (限时：50分钟　满分：84分) 1．(满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°. (1)证明：平面ADB⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求AE―→与DB―→夹角的余弦值． 2．(满分12分)(2013·孝感模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点． (1)求证：PA⊥EF； (2)求二面角D－FG－E的余弦值． 3．(满分12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上且DE⊥AE. (1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值． 4．(满分12分)(2012·江西高考) 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O. (1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长； (2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值． 5．(满分12分)如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上，下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a. (1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1； (3)在(2)的条件下，求二面角F－CC1－B的余弦值． 6．(满分12分)(2013·聊城模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点． (1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD； (2)设点M在线段PC上，＝，求证：PA∥平面MQB； (3)在(2)的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M－BQ－C的大小． 7．(满分12分)(2012·福建高考)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由； (3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长． 答 案 限时集训(四十八)　空间向量在立体几何中的应用 1．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D， ∴AD⊥平面BDC， ∵AD?平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BDC. (2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E， ∴＝，＝(1,0,0)， ∴与夹角的余弦值为cos〈，〉＝＝ ＝. 2.解：(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)，E(－1,0，1)，F(0,0,1)，G(－2,1,0)． (1)∵＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)， ∴·＝0， ∴PA⊥EF. (2)易知＝(0,0,1)，＝(－2,1，－1)． 设平面DFG的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝1，得m＝(1,2,0)是平面DFG的一个法向量． 同理可得n＝(0,1,1)是平面EFG的一个法向量， ∴cos〈m，n〉＝＝＝， 由图可知二面角D－FG－E为钝角， ∴二面角D－FG－E的余弦值为－. 3．解：(1)证明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1. 而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1. (2)如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D. 易知＝(，1,0)，＝(0,2，)， ＝. 设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有 解得x＝－y，z＝－y.故可取n＝(1，－，)． 所以，cos〈n，〉＝＝＝. 由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为. 4．解：(1)证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥B