八章特殊计数序列8Catalan数.pptVIP

我们可义求出前几项的Catalan数的数值： C0 = 1 , C1 = 1 , C2 = 2 , C3 = 5 C4 = 14 , C5 =42 , C6 = 132, C7 =429 C8 =1430, C9 = 4862 ,……………. 现在我们定义一个新的数列： 为了方便给它取名叫做拟- Catalan数。令： 这个序列关系与凸(n+1)边形区域通过在区域内插 入n个不相交的对角线而分成三角形区域的方法数相同。 总 结 本次课我们介绍了Catalan数序列和 拟-Catalan数序列等知识。由于它们的递推关系是非线性的，生成函数和序列通项显的比较特殊。可以牢记Catalan数序列和拟-Catalan数序列的固定公式。 本次授课到此结束 作业如下: P193 1, 3, 4 1.设在圆上选择2n个（等间隔的）点。 证明将这些点成对连接起来使所得到的n条线段不相交的方法数等于第n个Catalan数Cn。 将Catalan数的递推关系代入得到拟-Catalan数的递推关系： 这样，拟-Catalan数的递推关系和初值如下： 利用这个递推关系，可以计算前几个 拟-Catalan数： 我们还可以求出拟-Catalan数的计算公式： 例：设a1,a2,…,an是n个数 。定义这些数的一种 乘法格式是指a1,a2,…,an任意两个或者它们部分积之间的n-1种乘法运算的方案。计算n个数的不同乘法格式的个数。 分析：设hn是n个数的不同乘法格式的个数。 那么: h1 = 1 , 一个数的乘法格式; h2 = 2 , 两个数的乘法格式; (a1×a2) 和(a2×a1) h3 = 12 , 三个数的乘法格式; (a1×(a2×a3)), (a2×(a1×a3)),(a3×(a1×a2)) (a1×(a3×a2)), (a2×(a3×a1)),(a3×(a2×a1)) ((a2×a3)×a1), ((a1×a3)×a2), ((a1×a2)×a3) ((a3×a2)×a1), ((a3×a1)×a2), ((a2×a1)×a3) 看得出, 三个数的乘法格式都需要两次乘法,两组括号因子,每种格式的乘法就对应一括号 内的因子,一般说来每个乘法格式都可以通过以 看成是由某种规定顺序列出：a1,a2,a3, ….an而后插入 n-1对括号和n-1个×号使得每对括号都指定两个因子的乘积,例如其中就有: (a1×(a2×(a3×(a4×(a5×(a6 ×….)))…..)) 一种乘法格式。 我们利用归纳法来验证递推关系： i) 取a1,a2, a3,….an-1的一种乘法格式(它有n-2次乘 法和n-2组括号), 将an插入到n-2个乘法运算中任一个×号两侧的任一侧，有：2×(n-2)种；对于任一个乘法因子(括号)由分左右两侧，所以共有: 2×2×(n-2)种 ii)取a1,a2, a3,….an-1的一种乘法格式, 将an放到整个表达式两侧的任一侧。又有2倍种。 由h3 = 12 ，分析任一中乘法格式(a1×(a2×a3)), 可以有10个位置插入a4 故h4 = (4*4－6)*12=120 由此可见，序列{ hn}与拟-Catalan数有相同的递推关系，故有： 则：hn=2×2× (n-2) ×hn-1+2×hn-1 从而 hn= (4n-6) hn-1 n≥ 2 上例中我们只考虑了对以规定顺序a1,a2, a3,….an列成的n个数的那些乘法格式进行计数,例如统计了： a1,a2, a3而没有考虑 a2,a3, a1;令gn是表示带有这种附加限制的乘法格式数,将这n个数全排： hn= n! gn, 因此，我们有： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 (((a1a2)(a3(a4a5)))(a6a7)) (a4a5) (a1a2) (a3(a4a5)) (a6a7) ((a1a2)(a3(a4a5))) 这是n=7的情况 因为构造三角形的三个顶点没有次序区分. 3.写出四个数的所有乘法格式并对应它们的凸五边形的三角形分拆。