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第八章 相关分析与一元线性回归模型 — 相关系数 （Correlation Coefficient） — 一元线性回归模型 （ Simple Linear Regression Model） 8.1 随机关系 —函数关系 （Deterministic Relationship） Y= f (X) 每一个 X 值都唯一地对应一个 Y值. — 随机关系（ Stochastic Relationship） 当 X 的值给定时， Y 的取值服从一个分布 函 数 关 系 例1: 一台计算机售价为960美元。 X — 计算机的销售量 Y — 总销售收入 Y=960X 例2：租车固定费用为100美元。每行驶一公里收费0.2 $ X — 行驶公里数 Y — 租用车辆的费用 Y= 100 + 0.20X 随 机 关 系 随机关系（ Stochastic Relationship）: 例: 钢材消费量与国民收入 Y —钢材消费量（万吨） X —国民收入（亿元） 问题：如何测量X与Y的相关性大小？ 3-3. 全市交通出行比例分析 右图显示：自行车出行比重下降，公共交通出行比例不断增加，同时，小汽车出行比例也持续增加。 目前，北京市公共交通出行比例仅为38.9%，而东京大于64%以上。 北京的小汽车使用强度为45车公里/日，远高于东京（19）、香港（39）、伦敦（30）。 北京市机动车的80%以上集中在六环范围内。 北京机动车呈现高速度增长、高强度使用、高密度聚集的态势。 8.2 相关系数（The Correlation Coefficient） Pearson 相关系数: r(x,y) 记 r(x, y) 的性质 (1) -1? r ? 1 (2) 0 r ? 1: 正线性相关 (3) -1? r 0: 负线性相关 (4) r = 0: 线性无关 (5) r =1: 完全正线性相关 (6) r= -1:完全负线性相关 总体相关系数 1. 总体方差 2.总体协方差 3. 总体相关系数 关于总体相关系数的假设检验 H0: ? = 0 H1: ? ? 0 检验统计量: 例题： X — 钻井深度 Y — 钻井费用 n=6, r(x,y)=0.953 H0: ? = 0 H1: ? 0 (右尾检验) Spearman秩相关系数 注意：样本相关系数只能测量两个随机变量之间是否存在线性相关关系！ 问题：如何测量非线性相关关系? xi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 yi 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102 思路2： (1) 求两组秩的差： Di= ui - vi (2)为防止正负号抵消： (3)（a) 如果： ui = vi ， i =1,2,…,n 取到最小值（等于零）。 (b) 如果：两组秩取值完全相反， 取到最大值。 ui n (n-1) (n-2) … 3 2 1 vi 1 2 3 … (n-2) (n-1) n 计算： 显然，l 的取值范围为 [0，1] 两组秩完全一致 两组秩完全相反 (4)定义Spearman秩相关系数 当 l = 0: R=1 (正相关） 当 l = 1: R= ?1 (负相关） 一般认为： 为相关程度比较高。 讨论1：从相关关系发现因果关系 案例：2006年北京市的福寿螺事件 5月20日 蜀国演义酒楼将“凉拌螺肉”的原料——海水螺改为福寿螺。 5月23日 前后 广州管圆线虫病患者开始出现症状，但病因难查。 6月24日 首例广州管圆线虫病在友谊医院确诊。（热带病研究所） 6月25日 友谊医院临床医生先后2次到蜀国演义酒楼暗访、明查， 检测出福寿螺携带广州管圆线虫幼虫。 8月17日 北京