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第八章 自适应滤波器Adaptive filter 引 言 引 言 卡尔曼滤波器 （第六章） （1）适用于非平稳随机信号； （2）需要知道信号和噪声的先验统计特性； （3）滤波器参数是时变的。 引 言 实际应用情况 （1）生物体的复杂性，非平稳性突出； （2）无法得到信号和噪声的先验知识 或其统计特性是随时间变化的. 因此，用维纳或卡尔曼滤波器实现不了最优滤波. 在此情况下，自适应滤波能够提供优良的滤波性能。 引 言 自适应滤波概念 利用前一时刻已获得的滤波器参数等 结果，自动地调节（更新）现时刻的滤波 器参数，以适应信号和噪声未知的统计特 性，或者随时间变化的统计特性，从而实 现最优滤波。 几种主要的自适应滤波器 最小均方（LMS）自适应滤波器 递推最小二乘（RLS）自适应滤波器 格型自适应滤波器 无限冲击响应（IIR）自适应滤波器 几种主要的应用 自适应噪声抵消器 自适应谱线增强器 自适应陷波器 第一节 LMS自适应维纳滤波器 基本部件: 第一节 LMS自适应维纳滤波器 第一节 LMS自适应维纳滤波器 线性组合器输入: 定义权向量: 则线性组合器输出: 误差信号定义为： 写成向量形式： 误差平方为： 上式两边取数学期望后，得均方误差： 定义互相关函数行向量和自相关函数矩阵： 则均方误差可表述为： 均方误差是权系数向量W的二次函数，它是一个中间向上凹的抛物形曲面，具有唯一最小值的函数。 调节权系数使均方误差为最小，相当于 沿抛物形曲面下降找最小值。可以用梯度 来求该最小值。 将上式对权系数W求导数，得到均方误差函数的梯度： 令 ， 即可求出最佳权系数向量 它恰好是第五章研究Wiener滤波器遇到 过的Wiener- Hopf方程 因此，最佳权系数向量通常也叫作Wiener 权系数向量。 将最佳权系数向量代入上式得最小均方误差： 利用式 求最佳权系数向量的精确解需要知道的先验统计知识，而且还需要进行矩阵求逆等运算。 Widrow and Hoff (1960)提出了一种求最佳权系数近似值的方法： （1）不需要先验统计知识 （2）算法的根据是最优化方法中的最速下降法 习惯上称为Widrow and Hoff LMS算法。 方法原理是： “下一时刻”权系数向量应该等于“现时刻”权系 数向量加上一个负均方误差梯度的比例项，即 上式中， 是一个控制收敛速度与稳定性 的常数，称之为收敛因子。 LMS算法的两个关键： 梯度的计算 收敛因子的选择 （一） 的近似计算 直接取 作为均方误差 的估计值，即 式中的 为 代入上式中，得到梯度估值 （一） 的近似计算 于是，Widrow – Hoff LMS算法最终为 上式的实现方框图如下图所示 梯度估值 的无偏性分析 的数学期望为 上式表明，梯度估值 是无偏估计。 （二） 的选择 权系数向量更新公式 对其两边取数学期望，得 式中，I为单位矩阵。 当k =0 时， 当k = 1时，有 故 重复以上迭代至k+1，则有 继续推导将用到以下结论： 1、 （ 是实值的对称阵，可写成特征值分解式） 正定阵 是对角阵，其对角元素 是 的特征值 2、 （3） （4）假定所有的对角元素的值均小于1（这可以通过适当选择 实现），则